平面Bonnesen-型等径不等式与Bonnesen-型的Ros等周不等式

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本文研究了平面Bonnesen-型等径不等式与Bonnesen-型的Ros等周不等式.
　　平面上最著名的几何不等式或许是等周不等式，其数学表述为:设Γ为平面简单闭曲线，其周长为L,所围区域的面积为A,则L2-4πA≥0，等号成立当且仅当Γ为圆周.
　　等周不等式描述平面简单闭曲线的周长L与面积A之间的关系，即平面上固定周长的简单闭曲线中，圆所围的面积最大，换句话说，平面上固定面积的区域中，圆盘的周长最小.等周亏格△2(Γ)=L2-4πA反映了曲线Γ与半径为L/2π的圆盘的差别程度.
　　我们得到平面等径不等式.
　　（平面等径不等式）设D为E2中由简单闭曲线所围的平面区域，其面积和直径分别为A和d，则d2-4/πA≥0，等号成立当且仅当D为圆盘.
　　等径不等式描述的是平面简单闭曲线中直径d与面积A之间的关系.等径亏格δ2(D)=d2-4/πA同样可以刻画区域D与半径为d/2的圆盘的差别程度.
　　在平面等周问题的研究中，19世纪20年代Bonnesen得到了等周亏格的一个下界估计.
　　 (Bonnesen等周不等式)设Γ是周长为L的平面简单闭曲线，其所围区域D的面积为A,则L2-4πA≥π2(re-ri)2，等号成立当且仅当Γ为圆周.其中ri，re分别为D的最大内接圆半径和最小外接圆半径.
　　我们的主要结果是:
　　定理1.4设D为简单闭曲线所围凸区域，L，A，d分别为D的周长，面积，直径，则d2-4/πA≥1/π2（L2-4πA），等号成立当且仅当D为常宽凸体.
　　定理1.5(Bonnesen-型等径不等式)设D是平面简单闭曲线所围域，L，A，d，ri，re分别为D的周长，面积，直径，最大内接圆半径以及最小外接圆半径，则δ2(D)≥（re-ri）2;δ2(D)≥(L/π-2r)2;δ2(D)≥（L/π-2A/πr）2;δ2(D)≥（A/πr-r）2;δ2(D)≥（A/π）2（1/ri-1/re)2;δ2(D）≥（L/π）2(re-ri/re+ri)2;δ2(D)≥(A/π)2(1/ri-1/r)2;δ2(D)≥(L/π)2(r-ri/r+ri)2;δ2(D)≥（A/π）2（1/r-1/re）2;δ2(D）≥（L/π）2（re-r/re+r)2,其中，ri≤r≤re.等号成立当且仅当D为圆盘.
　　定理1.9设D为平面卵形域，k为其边界(6)D的曲率，则∫(6)D1/κds-2A≥2/π(L2-4πA)，等号成立当且仅当D的曲率满足:1/κ=F0/2+F2cos(2φ)+G2sin(2φ)＞0，φ∈[0,2π）.其中L,A分别为D的周长和面积.

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作者
杨丹;
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作者单位

西南大学;

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授予单位西南大学;
学科基础数学
授予学位硕士
导师姓名周家足;
年度 2013
页码
总页数
原文格式 PDF
正文语种中文
中图分类线性不等式;组合几何;
关键词
平面; 等周不等式; Bonnesen-型; 等径不等式; Ros-型等周不等式;

平面Bonnesen-型等径不等式与Bonnesen-型的Ros等周不等式

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