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渺位四角系统完美匹配数的排序与正盈量二部图最大匹配数下界的紧性

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前言

第一章渺位四角系统及其完美匹配数

§1.1引言

§1.2四角运算的定义及性质

§1.3具有较少完美匹配数的链状四角系统

§1.4具有较少完美匹配数的渺位四角系统的排序

第二章正盈量二部图的最大匹配数下界的紧性

§2.1引言

§2.2正盈量二部图的最大匹配数下界的紧性

参考文献

致谢

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摘要

图的完美匹配在量子化学中化学家称之为Kekulé结构，在统计物理上称为Dimmer构形，它们在量子化学与统计物理上有着十分重要的应用。四角系统拥有悠久的历史，早在20世纪处人们就开始研究它。有关数学方面的研究主要集中在拼图问题、非同构计数问题、完美匹配的存在性及匹配计数问题等。至今为止，这方面都已经取得了相当的成果。四角系统是二连通的二部图，其每个内部面都是单位正方形(又称细胞)且每条边至少属于一个细胞。其完美匹配与dimmer问题有直接的联系。存在完美匹配的渺位四角系统的完美匹配数的计算方法是通过其中某一个细胞的一对平行边割的研究而得到的。本文在此基础上定义了构成渺位四角系统的三种四角运算，研究了渺位四角系统的构成，发现任何渺位四角系统均可以看成由若干个锯齿链状四角系统经以上三种四角运算后构成，且任何两个渺位四角系统分别经三种四角运算后得到的三种不同的新渺位四角系统，这三种新渺位四角系统的完美匹配数有确定的大小关系；在这三种四角运算的支持下，最终给出了固定细胞总数情况下具有较少完美匹配数的渺位四角系统的排序。 另一方面，不存在完美匹配的平面图形，我们有最大匹配、极大匹配等有效工具。对二部图的完美匹配的存在性及最大匹配的研究由来已久，且已有不少很好的结论。一个二部图G(A,B)具有正盈量(positivesurplus)(对A而言)当且仅当对A的任何非空集合X所包含的顶点数一定小于其邻集所包含的顶点数；无向简单图G的亏度(deficiency)是未被最大匹配所覆盖的顶点数。本文对具有正盈量的二部图，刻画了其当亏度def(G)给定时达到最大匹配数下界的二部图，当亏度def(G)给定时，其从最大匹配数的下界为|E(G)|+(|A|-1)(def(G)-2)，达到此下界的图为A中任何度数≥3的顶点具有def(G)条悬挂边的具有正盈量(对A而言)的连通二部图G(A，B)，从而验证了此类二部图最大匹配数下界的紧性。

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