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复杂网络与复杂生物神经网络的建模及其动力学特性研究

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摘要

近几年来, 复杂网络受到来自科学与工程各个领域研究者越来越多的关注，成为当今研究的一个热点。本论文将统计方法、非线性系统理论以及矩阵理论等理论和方法应用到复杂网络的研究中，对复杂网络的建模及其动力学性质两方面进行了研究。这两方面的研究无论在理论上还是在实际应用中都具有重要意义。通过对复杂网络建模的研究，可以使我们更好的认识现实世界中网络的演化和形成机制；通过对复杂网络动力学性质的研究，一方面可以使我们更好地了解和解释现实世界中复杂网络所呈现出来的各种动力学现象，如稳定、混沌等；另一方面我们可以将复杂网络动力学性质研究的理论成果应用到具体问题当中去，如可以设计出具有更好特性的实际网络或使网络处于对我们有利的状态。另外，对于生物神经网络的研究也是当今科学的研究热点。 本论文把复杂网络的研究成果应用到生物神经网络中，建立了复杂生物神经网络模型，并研究了这种模型的放电特性及随机共振现象。这部分内容的研究结果对脑神经生理学和认知科学的研究具有一定的参考价值。本文的主要内容和创新之处可概述如下： （1）关于一种加速增长的无标度网络模型的研究实证发现，大量的实际网络都是无标度网络，因此对无标度网络的模型研究极其重要。本文首先采用均匀场理论重新推导了一种加速增长的GM 无标度网络模型的度分布，推导结果与原始文献的结果相同，随后又数值验证了这种理论结果。接下来在原始GM 模型的基础上考虑了增长的间歇过程。数值模拟显示，所演化出的网络度分布为双指数的幂律分布，对于这种幂律分布的两个指数，数值分析了它们与网络演化中的各参量间的关系。 （2）关于复杂网络的稳定性研究网络的稳定性可以分为狭义的Lyapunov 渐进稳定和广义的Lyapunov 意义下的稳定。本文提出了一种恒定的狭义Lyapunov 渐进稳定的网络模型，该模型恒定稳定在平衡点处，而不受网络拓扑结构的影响。采用Lyapunov 稳定性理论研究了这种模型，并通过一个数值例子验证了理论结果。对于广义的Lyapunov 意义下的稳定，通过耗散系统判据推导出网络稳定的条件，并统计分析了两种典型网络（小世界网络和无标度网络）的稳定。 （3）关于小世界网络的混沌涌现研究随着复杂网络研究的兴起，网络的集体动力学行为已成为当今研究的热点，特别是，网络的混沌行为具有极其重要的应用价值。本文研究发现复杂网络上的节点在耦合前处于非混沌态，在耦合后会因为系统维数的提高而发生混沌现象。采用混沌的Lyapunov指数判据分析了网络的混沌涌现条件，尤其是对于小世界网络的混沌涌现行为，统计分析了这种涌现的条件及其能力。 （4）关于一种具有侧向抑制机制的加权小世界生物神经网络的兴奋特性研究许多研究表明生物神经网络具有小世界特性，以往提出的小世界神经网络模型大多是不加权的模型，但生物神经网络中不同的连接通常都具有不同的权值。在本文中提出了一种具有侧向抑制机制的加权小世界生物神经网络模型，并进一步数值研究了这种模型在受外界刺激下的兴奋特性，得出了与真实脑神经系统受外界刺激所表现出的类似结果。 （5）关于小世界生物神经网络的随机共振现象研究对于生物神经网络的随机共振现象研究，已有很多文献报道，但都没有建立在真实的神经元间的小世界连接上。本文构造了一种小世界连接的生物神经网络模型，并数值研究了这种模型的随机共振现象。研究发现，随机共振的产生要满足一定的耦合条件：耦合强度必须小于某个临界值，并且小世界网络的拓扑参量对随机共振也有一定的影响。

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