几类非线性偏微分方程的高阶数值方法

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本论文共分为四部分.第一部分考虑如下磁—热—弹性波方程:utt=auxx-vx，0＜x＜1，0＜t≤T，
　　vtt=cvxx-buxtt，0＜x＜1，0＜t≤T.它是一个三阶的偏微分方程组.通过引进新变量w=ut，将原问题转化为等价形式的二阶偏微分方程组(2.0.3)，(2.0.4)及w=ut.给出了解的先验估计式.建立了一个三层有限差分格式:δ2twki-a/2(δ2xwk+1i+δ2xwk-1i)+△x△tvki=g1(xi,tk)1≤i≤m-1,1≤k≤n-1,δ2tvki-c/2(δ2xvk+1i+δ2xvk-1i)+b△x△twki=g2(xi,tk),1≤i≤m-1,1≤k≤n-1,2/(Τ)[δtw1/2i-φ2(xi)]-aδ2xw1/2i+△xδtv1/2i=g1(xi,t0),1≤i≤m-1,2/(Τ)[δtv1/2i-ψ2(xi)]-cδ2xv1/2i+b△xδtw1/2i=g2(xi,t0),1≤i≤m-1,uki=u(xi,0)+(Τ)(1/2wki+k-1Σl=1wli+1/2w0i),1≤i≤m-1,1≤k≤n.利用能量分析法，严格证明了该格式的唯一可解性、无条件稳定性和收敛性，证明了在无穷范数下在时间方向和空间方向上的收敛阶均为2.差分格式可以写成两种矩阵形式，可用追赶法或者迭代法计算.通过数值试验，结果显示了该格式的有效性.
　　第二部分对一类非线性Camassa-Holm(C-H)方程
　　ut+kux-uxxt=-3uux+uuxxx+2uxuxx展开研究.C-H方程是一个三阶的偏微分方程，针对这一问题，建立了一个守恒型三层线性化的有限差分格式:
　　δtu1/2i-δtδ2xu1/2i+u0i△xu1/2i+△x(u0iu1/2i)=(△xu1/2i)δ2xu0i+△x(u1/2iδ2πu0i),1≤i≤m-1，△tuki-△tδ2xuki+uki△xu(k)i+△x(ukiu(k)i)=(△xu(k)i)δ2xuki+△x（u(k)iδ2xuki),1≤i≤m-1，1≤k≤n-1.基于能量分析法，证明了该格式的唯一可解性、能量守恒性和无穷范数意义下的条件收敛性且收敛阶为2等相关结论.数值算例验证了上述理论分析的正确性和算法的有效性.
　　第三部分研究非线性Fermi-Pasta-Ulam方程:
　　(e)2u(x,t)/(e)t2=[1+(E)(e)u(x,t)/(e)x](e)2u(x,t)/(e)x2-γ(e)u(x,t)/(e)t-m2u(x,t).该方程是一个非线性的双曲方程.针对该问题，建立了一个守恒型三层线性化的有限差分格式:δ2tuki=δ2xu(k)i+(E)/2δx（（δxuk）（δxu(k)））i-γ△tuki-m2u(k)i，1≤i≤M-1，1≤k≤N-1，2/(τ)[δtu1/2i-ψ（xi）]=（1+(e)ψ'（xi））δ2xu1/2i-γψ（xi）-m2u0i，1≤i≤M-1.用能量分析法讨论了离散能量的守恒性、唯一可解性、稳定性和无穷范数意义下的收敛性，收敛阶为2.数值结果验证了理论分析的正确性.
　　第四部分讨论了二维相场晶体(PFC)方程:φt=▽·（M（φ)▽μ），（x，y）∈R2，0＜t≤T，μ=φ3+(1-(e))φ+2△φ+△2φ,(x,y)∈R2,0＜t≤T.该方程是一个六阶的非线性发展方程.针对这一模型，建立了一个三层线性化差分格式:δtφ1/2ij=△h[（(φ)ij）2φ1/2ij+（1-(e)）φ1/2ij+2△hφ1/2ij+△2hφ1/2ij]，1≤i，j≤M，△tφnij=△h[（φnij）2φ(n)ij+（1-(e)）φ(n)ij+2△hφ(n)ij+△2hφ(n)ij]，1≤i，j≤M，1≤n≤N-1.严格地证明了差分格式的能量稳定性、唯一可解性、和在L2范数下的二阶整体收敛性等相关结论.接着从理论上分析了Zhang，Ma，Qiao(J.comp.phys.249(2013)，204-215)建立的关于相场晶体方程的两层非线性差分格式，用不动点定理证明了该差分格式的唯一可解性，用能量分析法证明了该格式在L2范数下的二阶整体收敛性.指出该分析方法对于改进的相场晶体方程也是适用的.

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作者
曹海燕;
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作者单位

东南大学;

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授予单位东南大学;
学科应用数学
授予学位博士
导师姓名孙志忠;
年度 2014
页码
总页数
原文格式 PDF
正文语种中文
中图分类偏微分方程的数值解法;
关键词
相场晶体方程; 非线性偏微分方程; 先验估计; 有限差分格式; 整体收敛性; 唯一可解性;

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