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【6h】

非线性微分方程的解析解与可积性及其Riemann-Hilbert问题的研究

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众所周知,研究非线性微分方程的解析解和可积性有利于解释相应物理现象和工程应用.本文主要研究几类非线性微分方程的解析解、对称性、守恒率及其Riemann-Hilbert 问题. 本文第二章和第三章主要通过发展Bell多项式和Riemann Theta函数的相关知识,来研究广义的（3+1)-维 K d V-型方程,并得到了方程的双线性表示、孤子解、双线性Backlund变换,L a x对以及无穷守恒律.同时也构造了它的一周期波解和二周期波解,并详细地分析了它们的渐近性性质，证明了在一定的约束条件下,一个方程的周期解可以退化为其孤子解. 在第四章,通过推广李群的知识,对广义親合的Whitham-Broer-Kaup-Like方程进行详细的李对称分析,得到方程所对应的向量场.在此基础上,研究了其伴随性质、最优系统、相似约化及其幂级数解.此外,通过发展新的守恒率定理,系统的构造了親合的Whitham-Broer-Kaup-Like方程所对应的守恒律. 在第五章,基于(2+1)-维 Ito方程和广义（3+1)-维 Kadomtsev-Petviashvili方程的双线性表示,成功的得到了这两个方程的解析解,包括呼吸波解和怪波解.并对方程的呼吸波和怪波的动力行为进行了图形模拟和分析.这些解能够反应怪波和呼吸波的基本特性.另外,通过引入两个密度函数,成功获得了一个新的广义 （3+1)-维 Kadomtsev-Petviashvili方程的怪波解和组合解,并对这类怪波解和组合解进行了图形模拟和分析.特别的,这种组合解能够反应孤波与怪波之间的相互作用现象.另外,通过推广Bell多项式的相关知识,详细的构造了广义(2+1)-维Boussinesq方程的双线性表示,然后基于该方程的双线性表示，系统的推到了该方程的的呼吸波解和怪波解.然后并详细地分析了它们的渐近性性质，证明在特定的条件下，一个方程的呼吸波解能趋于其对应的怪波解.最后对这类解进行了详细的图像模拟和分析. 接下来，通过推广Riemann-Hilbert方法，研究了 一个親合薛定谔方程的Riemann-Hilbert问题,然后基于该方程的Riemann-Hilbert问题,详细的构造了方程所对应多维孤子解.另外,通过图像模拟这类孤子解的传播现象.最后,对全文进行了总结和展望.

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