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单复变与多复变亚纯函数族的若干正规准则

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摘要

亚纯函数正规族理论是复分析中一个非常重要的分支，它在复解析动力系统、复微分方程、亚纯映照的唯一性与奇异方向的存在性中都有着十分广泛的应用。根据著名的Picard定理，我们知道复平面上一个非常值的亚纯函数最多只有两个例外值。Montel建立了与此对应的函数集族正规法则。若定义在复平面某区域上的一族亚纯函数，如果每个函数都不取黎曼球面上三个不同的值，那么该函数集族是正规的。本论文主要从Picard型定理与正规准则之间的密切关系出发，利用值分布等相关理论建立了单与多复变亚纯函数族的正规准则。
　　在第一章，我们详细介绍了单复变与多复变亚纯函数正规族的起源与发展，以及最新的一些研究成果，同时引入了论文的主要思想来源以及论文的主要工作内容安排。在论文的第二章和第三章，我们一方面考虑了单复变中一类特殊微分多项式的值分布问题，并建立了与此微分多项式相关的正规准则，同时结合函数的零点重数将其推广。另一方面，在亚纯函数与其导数或者微分多项式在分担值、分担函数等多种情形下，我们得到了相应的正规准则的推广型结果。
　　本文最大的亮点是在第四章，利用金路提出的全导数概念，考虑了多复变中全纯函数族的正规性问题。将单复变中的Miranda定理，Marty定理以及Hayman提出的若干猜想推广到多复变情形，同时也给出了关于单复变中Zalcman引理在多复变情形下的推广型结果。最后，在多复变情形下，当集族中的每个全纯函数与其k阶全导数分担值时，我们得到了相对应的一些正规性结果，并以此推广了单复变中的相关结论。

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