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Γ0(D)上模形式的傅立叶系数的指数和在算术数列中的估计

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符号说明

第一章 引言及主要结果

§1．1 问题简介

§1．2 主要结果

第二章 预备知识

§2．1 Γ0(D)上的Hecke全纯尖形式

§2．2 Γ0(D)上的Maass尖形式

§2．3 Γ0(D)上的Eisenstein级数

§2．4 Atkin-Lehner理论和相关引理

第三章 定理1．1的证明

§3．1 定理1．1的证明

§3．2 命题1和命题2的证明

第四章 定理1．2-1．5的证明

§4．1 定理1．2，1．3的证明

§4．1．1 定理1．2的证明

§4．1．2 定理1．3的证明

§4．2 定理1．4，1．5的证明

参考文献

致谢

攻读博士学位期间发表和完成的论文

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摘要

在解析数论中，估计GL(2)上各类模形式的傅立叶系数是一个极其有趣的研究领域.著名的Ramanuj an-Peters son猜想指出，GL(2)上任意模形式g的第n个傅立叶系数λg(n)的阶不超过nε，其中ε＞0是给定的任意常数.当g是全纯尖形式时，在[5]中Deligne应用代数几何的方法证明了此猜想.当g为Eisenstein级数时，Eichler, Shimura，Ihara借助表示论的理论对上述猜想进行了研究并证明了该猜想（参见[6]，[33]，[16]，[17]等）.当g是一般的Maass尖形式时，此猜想还未被证明.但是Rankin-Selberg理论表明该猜想在平均的意义下是成立的.在[8]中Good证明了当g为SL(2，Z)上的全纯或Maass尖形式时，∑n≤Xλg(n)(《)X1/3+ε.比较这个结果与Ramanujan-Petersson猜想可以发现λg(n)的取值随着n的增大会有很大的震荡.为了研究λg(n)的震荡性，数学家们经常会考虑如下形式的指数和∑X＜n≤2Xλg(n)e(αnβ)，(0.1)其中0≠α∈R，β＞0，X≥1是一个大的参数且g为Γ0(D)上的尖形式.
　　对于D=1(即g为SL(2，Z)上的尖形式），许多数学家得到了有趣的结果.例如，Hafner[11]和Miller-Schmid[30]考虑了和式(0.1)为线性指数和的情况（即β=1），并证明了对任意α∈R，和式(0.1)有一致上界X1/2+ε.Ren-Ye[37]和Sun-Wu[34]则考虑了和式(0.1)为非线性指数和的情况，并证明了当0＜β＜1且β≠1/2时，和式(0.1)有一个大小为Oα(Xmax{β,1/2-β/4}+ε)的上界;当β=1/2并且α接近±2√q（其中q≤X/4）时，和式(0.1)有一个大小为|λg(q)|q-1/4X3/4的主项.他们的结果是受文章[20]启发而得到的.在[20]中，Iwaniec，Luo和Sanark首次考虑了当β=1/2，α=-2√q，q∈N时和式(0.1)的渐近公式.
　　对于D＞1，在[13]中Harcos指出当β=1时，对于任意α∈R和式(0.1)有一致上界O((DX)1/2+ε）.但是目前还没有人证明任何和式(0.1)的渐近结果.
　　在本文中，我们将考虑更一般的与尖形式的傅里叶系数有关的指数和.假设g是阶为正整数D，nebentypus为xD(n)的本原新形式(primitive newform)，我们估计如下形式的和SD(N，α，β，X)=:∑X＜n≤2X n≡l(mod N)λg(n)e(αnβ)，(0.2)其中0≠α∈R，0＜β＜1，l和N为互素的正整数，(D，N)=1或D不含平方因子.特别地，当N=1时，和式(0.2)变成(0.1).根据g为Maass尖形式或者全纯尖形式，我们分别得到如下两个定理.
　　定理1设N2D≤X1-ε，g是权为0，拉普拉斯算子特征值为v2+1/4 Maass的尖形式，θ＞0为使得λg(n)(《)nθ（其中n≠0）成立的最小实数.
　　(1)如果D1/2 N|α|βXβ＜√X/2，那么我们有SD(N,α，β，X)(《)v,ε(ND)1/3X(1+θ)/3.(0.3)
　　(2)如果D1/2 N|α|βXβ≥√X/2，则
　　(i)对β≠1/2，我们有SD(N，α,β,X)(《)v,ε(DN)1/2|2β-1|-1/2(|α|βXβ)1+ε+(ND)1/3X(1+θ)/3.(0.4)
　　(ii)对β=1/2，若|α|≥D-1N-3/2X1/2，那么我们有SD(N,α，1/2，X)(《)v,ε(|α|N)2θ+1/2+εDθ+1/2X1/4+ε+(ND)1/3X（1+θ）/3;(0.5)若D-1/2N-1≤|α|＜D-1N-3/2X1/2，那么我们有SD(N,α，1/2，X)=c0cα/N X3/4∑c/Nδc xD2(-c)ηg(D2)/(n0D2)1/4)c-1/2λgD2(n0)Sx(-l，-n0(D2); c)ε（α，n0,c，D2,X）+ Ov,ε((|α|N)2θ+1/2+εDθ+1/2X1/4+ε+(ND)1/3X(1+θ)/3）.(0.6)上式中cα为常数，c0=1+i，D2=D/(c，D).根据|n0-|α|2c2D2/4|≤X-ε是否成立，δc的值为1或者0，其中n0=n0(c)是距离(|α|c)2 D2/4最近的正整数.这里ηg(D2)和gD2的定义见(2.10)，Sx(-l，-n0(D2);c)的定义见(3.8)，ε(α，n0，c，D2，X)的定义见(3.28).
　　特别地，若α=±2√q/D，其中正整数q≤X/(4DN3)，那么我们有SD(N,α,1/2,X)=c0c1cαD1/4X3/4/Nq1/4∑c|N xD2(-c)ηg(D2)/cD1/22λgD2(n0)Sx(-l,-n0(D2);c)+Ov,ε((|α|N)2θ+1/2+εDθ+1/2X1/4+ε+(ND)1/3X(1+θ)/3),(0.7)这里c1=2/3(23/4-1)，n0=qc[c，D]/D.
　　定理2在定理1中，若我们将g换为权为k的全纯尖形式，条件N2D≤X1-ε换为N2D≤X，则将常数cα换为常数cα,k，θ换为ε，(《)v,ε和Ov,ε分别换为(《)k,ε和Ok，ε后，(0.3)，(0.4)，(0.5)，(0.6)，(0.7)中的结论仍成立.
　　当D=N=1时，定理1包含了Ren和Ye在[37]中的结果，定理2包含了Sun和Wu在[34]中的结果.当X充分大，β=1/2且α接近±2√q/c2D2时，定理1和定理2给出了和式SD(N,α，β，X)的渐近公式.这是有关Γ0(D)(D＞1)上尖形式的傅立叶系数的指数和的第一个渐近结果.
　　我们也关心Γ0(D)上Eisenstein级数的傅里叶系数的震荡性.对于S L(2，Z)（即D=1）上的权为0的Eisenstein级数E(z，s)，Hardy[14]和Uchiyama[38]曾经分别考虑过E'（z，s)|s=1/2的傅里叶系数的指数和在自然数列和算术数列中的估计.他们证明了当β=1/2，α为某些特殊值时，所考虑的指数和都有渐近公式.在本文我们将考虑D＞1的情况.假设g=ExD'xD

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