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在算术级数中具有算术函数系数的素变量指数和

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摘要

符号说明

第一章 研究背景

第二章 预备知识

§2．1 Dirichlet乘积与可乘函数

§2．2 预备引理

第三章 研究问题及定理的证明

§3．1 研究问题简介

§3．2 一些记号和初始设置

§3．3 定理的证明

参考文献

致谢

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摘要

指数和是数论研究的核心课题，有重要的理论意义和应用价值.设集合M代表所有函数值为复数的积性函数的集合，M1(c)M且对(V)f∈M1，有性质|f(n)|≤1，n∈N.令e（α）=e2πiα，其中α代表无理数.令M'是算术函数的集合，其中函数符合一定的条件，例如M'=M1.对于f∈M'或f为某一特殊的算术函数，本文主要研究形如1/E(x)∑n≤xn∈Ef（n）e(nα)
　　指数和的渐进行为，其中E是一个整数集合并且E(x)=∑n≤xn∈E1.
　　1954年，Vinogradov[25]的一个非常著名的结果是如果Q（n）=αknk+αk-1nk-1+…+α1n是一个多项式，αk，…，α1都是实数且最少有一个是无理数.那么
　　limx→∝1/π(x)∑e(Q(p))=0.
　　1974年，Daboussi和Delange[6]证明了对于任意给定的无理数α，f∈M1下式成立limx→∞ supf∈M11/x∑n≤xf(n)e(nα)=0.x
　　后来，Delange扩大了此结果的函数类，对于f∈L2，也就是对任意的f∈M，满足条件1/x∑n≤x|f(n)|2=O(1)，结果是成立的.Indlekofer又将f扩展到更大的函数类里去，对f∈L*，即对任意的f∈M，满足limy→0supx1/x∑|f(n)|≥yn≤x|f(n)|=0，结果仍然成立.
　　1986年，I.Kátai[9]证明了suo/f∈M1|1/x∑n≤xf(n)e(Q(n))|→0,x→∞.
　　2012年，J.M.De Koninck和I.Kátai[17]定义了一种新的算术函数l(n):=g1（F1（n））…gs(Fs(n))，其中F1(n)，…，Fs（n）是整系数多项式，并且只有当x＞0的时候，Fi(x)＞0，i=1，2，...，s.gi(i=1，2，…，s)都是复值可乘函数，并且满足特殊条件.令Sf(x):=∑n≤xf(n)l(n)e(Q(n))，得到了两个新的
　　结果:suof∈M1|Sf(x)|/x→0,x→∞,|1/li(x)∑p≤xl(p)e(Q(p))|→0,x∞.
　　本文的主要工作是将上述素变量指数和推广到算术级数中素变量指数和中去，即证明
　　定理0.1对于固定的k，l，满足（k，l）=1，当x→∞时，有下式成立11/li(x)|∑p≤xp≡l(mod k)l(p)e(Q(p))|→0.
　　其中l（n）:=g1(F1(n))…gs（Fs（n）），F1(x），…，Fs(x）∈Z[x]，并且只有当x＞0时，F1(x），…，Fs(x）＞0.对于i=1，2，…，s，gi都是复值的可乘函数，并且满足特殊条件（在第三章中介绍）.
　　本文主要使用Turán-Kubilius不等式[24]的经典方法来证明我们的结论.定理的证明用到了G.Tenenbaum[24]第三章的内容和J.M.De Koninck与I.Kátai[17]的相关引理以及初等数论和解析数论的知识.本文共分三个章节，第一章是导言部分，主要介绍问题的研究背景和目前的研究成果;第二章主要做一些预备工作;第三章是论文的主体，讲的是论文证明过程中需要的引理以及本文主要定理的证明.

著录项

  • 作者

    王云凤;

  • 作者单位

    山东大学;

  • 授予单位 山东大学;
  • 学科 基础数学
  • 授予学位 硕士
  • 导师姓名 吕广世;
  • 年度 2017
  • 页码
  • 总页数
  • 原文格式 PDF
  • 正文语种 中文
  • 中图分类 级数;
  • 关键词

    指数和; 算术函数; 算术级数;

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