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具有五次拟周期非线性项的非线性梁方程的拟周期解

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符号说明

第一章 Hamilton可积系统与KAM理论

§1．1 引言

§1．2 有限维可积的Hamilton系统与KAM理论

§1．3 Birkhoff正规型简介

§1．4 无穷维Hamilton系统与KAM理论

§1．4．1 低维KAM环面

§1．4．2 无穷维Hamilton系统

第二章 具有五次拟周期非线性项的非线性梁方程的拟周期解

§2．1 主要结论

§2．2 非线性常微分方程的拟周期解

§2．3 化方程为Hamilton系统

§2．4 线性Hamilton系统(2．3．22)的可约化性

§2．4．1 符号

§2．4．2 约化定理

§2．4．3 小除数引理的证明

§2．4．4 摄动项的正则性

§2．5 Birkhoff正规型

§2．5．1 通过Birkhoff正规型消去Hamilton函数中的(G)3项

§2．5．2 消去高次项中共振项

§2．6 一个偏微分方程的无穷维KAM定理

§2．7 主要定理的证明

附录

参考文献

致谢

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摘要

大量的物理，力学与天文学问题的数学模型是由Hamilton方程表示的.(q)=(a)H/(a)p,(p)=-(a)H/(a)q（p，q）=(p1，p2，…，pn，q1，q2，…，qn)，p称为系统的广义动量，q称为系统的广义坐标.
　　显然，最简单的系统莫过于Hamilton可积系统，这时2n维相空间分层为一族n维不变环面，在每个环面上系统的运动是拟周期运动，这时的Hamilton函数只依赖于作用变量H=H(I)，其运动方程为(I)=0，(θ)=(a)H/(a)I=ω(I)它的解是I(t)=I(0)，θ(t)=ωt+θ(0).拟周期运动的频率由ω(I)决定.ω(I)决定了一个由作用量空间到频率空间的映射.
　　本世纪以前，许多数学家穷其毕生精力去寻找正则变换，以图将一般Hamil-ton系统变换为一个可积形式.但是，人们现在已经明白，可积系统极其稀少，寥若晨星，如果能够直接研究不可积系统，自然是理想的，但是现有的手段还十分有限，得到的结果很少，在这种情况下，研究可积系统的扰动，无疑是一种可行的方法.其实，自然界的许多现象都可以用一种近可积Hamilton系统来描述.这类系统是除可积系统外非常重要而又简单的系统.目前研究无穷维Hamilton系统的周期解，拟周期解主要有两种方法.一种方法是Craig-Wayne-Bourgain法[20]，[21]，[45]，[46]，它从Liapunov-Schmidt分解和Newton迭代发展而来.另一种方法就是由经典KAM理论推广而来的无穷维KAM理论，而后者是本文的主要研究方法.经典的KAM理论在上世纪五、六十年代由三位著名数学家Kolmogorov[2]，Arnold[43]，Moser[19]建立.该理论合理解释了太阳系的稳定性，并指出可积系统在保守扰动下，会有相当多的环面保存下来.证明方法是改进的Newton迭代法，克服了“小除数”问题的困难，是Hamilton系统理论发展的里程碑.上世纪九十年代Wayne[4]和Kuksin[38]将其推广到无穷维Hamilton系统，并由P(o)schel[18]重新叙述.国内复旦大学的袁小平[47]，[48]，[16]南京大学的程崇庆[6]，尤建功[28]，吉林大学的李勇等在KAM理论和应用方面也做了很多重要工作.
　　无穷维KAM理论及其结论被运用到多种偏微分方程模型拟周期解存在性问题的研究中.如波方程，Schr(o)dinger方程，梁方程，Kdv方程等.
　　本文主要讨论带有五次非线性项的非自治梁方程utt-uxxxx+（B+εφ（t）u5=0，(0.0.1)
　　在周期边界条件u(t,x)=u(t,x+2π),(0.0.2)下拟周期解的存在性.这里B是正常数，ε是任意小的正参数，φ(t)是对时间t具有频率向量ω=(ω1，ω2，…，ωm）的实解析拟周期函数.方程(0.0.1)可以看作是完全共振的梁方程utt-uxxxx+Bu5=0的拟周期摄动(摄动项为εφ(t)u5)).近年来，对梁方程动力学行为的研究比较活跃，采用的方法也是多种多样的，如[1]，[5]，[7]，[8]，[30]，[36]，[39]，这些工作很少涉及方程的拟周期解.过去的几年中，通过KAM理论获得自治梁方程的拟周期解，见[10]-[12].特别的，梁振国和耿建生在[53]得到了完全共振的自治梁方程utt+uxxxx+Bu3=0在铰链边界条件下，B=1时拟周期解的存在性.
　　所有上述结果都是在自治情况下得到的.最近，王怡在[50]中，得到了非自治梁方程utt+uxxxx+μu+εg(ωt,x)u3=0在铰链边界条件u(t,0)=uxx(t,0)=u(t,π)=uxx(t,π)=0.下拟周期解的存在性.
　　文章的具体结构如下:第一章介绍无穷维Hamilton系统和KAM理论，这是我们处理文中偏微分方程的理论基础.第二，三章是本文的主要部分，给出了所讨论的具有五次非线性项的非线性梁方程拟周期解的存在性，并证明了相应的结论.首先，考虑下述常微分方程(x)+(B+εφ(D)x5=0,(0.0.3)的拟周期解x(t)，令u(t，x)=u0(t)+εv(x，t)，代人所讨论的非线性梁方程中，这里u0(t)是(0.0.3)的拟周期解，得到下述非线性梁方程vtt-vxxxx+V1（(ω)(ξ)）t，(ξ)，ε)v+Ε4k=1εVK+1((ω)(ξ)t，ξ,ε)vκ+1=0(0.0.4)其中，Vκ(κ=1，2，3，4)定义如第二章第三节所示.利用KAM理论，寻找方程的不变环面或拟周期.结果显示，在(0.0.3)的拟周期解附近，存在梁方程在周期边界条件下的许多拟周期解.
　　和前人的工作类似，这篇文章所采用的主要方法是由Kuksin[37]和P(o)chel[17]发展起来的无穷维KAM理论.所以主要工作是将偏微分方程化为能用KAM理论的过程.注意到方程(0.0.4)是一个具有拟周期势能和拟周期强非线性项的非线性梁方程，这需要将系统(0.0.4)的线性部分通过一系列和初始系统具有相同频率的变量的拟周期变换，化成常系数，这个称为线性部分的可约化问题.而这个过程是没有一般方法能采用的，所以论文的很大一部分是无穷维拟周期线性系统的可约化证明.
　　最近几年来，通过KAM技术无穷维线性拟周期系统的可约化性成为一个比较活跃的研究领域.得到第一个结果的是Bambusi和Graffi，见[9]，后来，Eliasson和Kuksin[31]，袁小平[47]，B.Grébert，L.Thomann[3]，司建国[15]又得到一系列的结论.但是，无穷维线性拟周期系统的可约化性仍是一个开的，非常有吸引力的研究领域.
　　文中第三章是文中所需集合的测度估计的证明，作为附录单列一章.

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