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一类Zeta函数的均值与含有尖形式傅立叶系数的指数和估计

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摘要

第一章 一类Zeta函数的均值

§1．1 引言及主要结果

§1．2 预备引理

§1．3 Dα，β(X)的渐近公式

§1．4 △α，β(X)的Voronoi公式

§1．5 命题1．1的证明

§1．5．1 (ξ)(s)的平方均值

§1．5．2 (ξ)(s)的上界

§1．5．3 (m)(s)的处理

§1．6 定理1．2的证明

§1．7 推论1．3的证明

第二章 与尖形式傅立叶系数有关的指数和估计

§2．1 引言及主要结果

§2．2 问题的转化

§2．3 命题2．3的证明

参考文献

学位论文评阅及答辩情况表

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摘要

在本文的第一章，我们考虑了如下形式的Zeta函数(s)α,β(s)=∞∑n=1dα,β(n)/ns((r)s＞1),其中α，β为给定的有理数，满足0＜α＜β且dα，β(n)=∑n=klαl＜k≤βl1.我们证明了(s)α，β(s)可以解析延拓到(r)s＞1/3并得到如下均值结果:定理1.2.令T≥2且s=σ+it，则对任意1/2＜σ＜1，一定存在正常数ε（σ)＞0，使得∫2TT|(s)α，β(σ+it)|2dt=T∞∑n=1d2α，β(n)/n2σ+Oα，β,σ(T1-ε(σ)).
　　 一个三维数组(a,b，c)∈(N)3，如果满足a2+b2=c2，a＜b且gcd(a，b，c)=1，那么我们称之为一个原直角三角形.对x＞2，令P(x)为周长不超过x的原直角三角形的个数.作为定理1.2的一个应用，我们得到定理1.3.在Riemann假设下，对x≥2以及任意ε＞0，有P(x)=log2/πx+Oε（x4/11+ε）.这改进了[18]中余项的指数5805/15408.
　　 在本文的第二章，我们考虑了含有尖形式傅立叶系数的指数和.令f(z)为一个SL2(Z)上的权为k的全纯尖形式，则f(z)有如下傅立叶展开式f(z)=∞∑n=1a（n）n(k-1)/2e（nz）((r)z＞0)，其中e(z)=e2πiz.类似的，令u(z)为一个SL2(Z)上具有Laplace特征值1/4+r2的Maass尖形式，则u(z)有如下傅立叶展开式u(z)=2√y∑n≠0Kir(2π|n|y)e(nx)，这里K为K-Bcssel函数.在[26]中，Pitt考虑了含有傅立叶系数a（n）的指数和并且证明了，对任意的ε＞0，有∑n≤Xa(n)e(αn2+βn)(≤)X15/16+ε,对α，β∈(R)一致成立，其中(≤)中的隐含常数仅与ε和尖形式f有关.本文我们改进了Pitt的结果，证明了如下结论.定理2.1.令X≥2，且α(n)由(2.1)或(2.2)给出，则对任意ε＞0我们有∑n≤Xa（n）e（αn2+βn）(≤)X7/8+ε，对α，β∈R一致成立，且(≤)中的隐含常数仅与ε以及(2.1)或(2.2)中的尖形式f有关.

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