双参数量子仿射代数的Drinfel'd实现、量子仿射Lyndon基及其顶点表示

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近几年来，双参数量子群受到越来越多的关注．2001年，Benkart-Witherspoon受down-up代数的启发，引入了有限gl<,n>，sl<,n>型双参数量子群的结构，并研究了它们的表示理论，中心及R-矩阵．2004年，Bergeron-Gao-Hu，将双参数量子群的结构推广到有限BCD型李代数，同时还研究了有限BCD型双参数量子群的表示理论以及Lusztig对称存在的条件．随后，Hlu-Shi和Bai坩u在和分别研究了有限G<,2>和E型双参数量子群．受这些有限型双参数量子群工作的启发，建立双参数量子仿射代数的理论是一个自然的问题．我们继续了U<,r,s>(A<'(1)><,n-1>)的工作，研究了所有非扭的双参数量子仿射代数的结构及Drinfel’d dollble性质，得到了双参数情形下的Drinfel’d实现．并且，完全利用组合方法，我们得到了双参数量子仿射代数的一组量子仿射Lyndon基，同时给出并详细证明了双参数量子仿射代数的Drinfel’d实现的同构定理．最后还构造了所有非扭的双参数量子仿射代数的水平1的顶点表示．本文的第一个主要内容是给出所有非扭的双参数量子仿射代数U<,r,s>(g)的定义．即Benkart-Witherspoon意义下的一组生成元和生成关系式．同时，作为Hopf代数，证明了双参数量子仿射代数的DrinfeI’d double性质．为了进一步研究双参数量子仿射代数的结构和表示理论的需要，本文第二个主要目的是给出并研究双参数量子仿射代数的Drinfel’d实现．为了这个目的，我们从反对称的观点出发，利用了Q-代数反自同构T.另外，这里所采用的组合方法也是有效刻画量子仿射Lyndon基的方法．事实上，我们可以精确地给出了所有量子实根向量和量子虚根向量，从而可以精确构造一组量子仿射Lyndon基．对于单参数量子仿射代数，在1987年Drinfel’d给出了一个重要的猜想：量子仿射代数的两种实现之间存在一个代数同构关系．当时他并没有给出证明，后来有一些作者就非扭仿射情形证明了这个猜想．如，Damiani([15])，Beck([3])，Jing([42])等．本文第三个主要内容是给出了双参数情形的Drinfel’d同构定理，并进行了详细证明．这里的证明完全依赖于所采用的组合方法和特殊的技巧．其中对关系式的验证过程看起来非常繁琐，事实上，如果进入细节，就会发现这些技巧性的计算过程恰好也验证了前面所给的关系式的相容性．基于单参数量子仿射代数丰富的顶点表示理论的工作([27]，[11]，[41]，[43]-[53]等)，本文最后一个主要内容是构造了所有非扭的双参数量子仿射代数的水平1的顶点表示．这一部分分成四节．首先构造了单边情形下的顶点算子，从而得到A，D，E型的双参数量子仿射代数的水平1的顶点表示．接下来，给出B型仿射李代数对应的双参数量子群的三个水平1的不可约基本模．对于C，F型双参数量子仿射代数，由于bosonic算子的出现，从而使得构造的水平l的顶点表示是一个可约的无限维模．最后一节得到了双参数量子仿射代数U<,r，s>(G<'(1)><,2>)的水平1的可约顶点表示．

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作者
张红莲;
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作者单位

华东师范大学;

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授予单位华东师范大学;
学科基础数学
授予学位博士
导师姓名胡乃红;
年度 2007
页码
总页数
原文格式 PDF
正文语种中文
中图分类李群;
关键词
双参数量子仿射代数; Hopf代数; Drinfeld实现; 量子仿射Lyndon基; 顶点算子; 顶点表示;

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