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四阶非齐次混合边值问题谱元方法和二阶多边形区域外部问题区域分解谱方法

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近三十年来，谱方法和拟谱方法作为数值求解微分方程的重要方法得到了蓬勃发展，它们的主要优点是高精度，并已被广泛应用于流体力学，量子力学，统计物理，天气预报，海洋科学，化学反应，材料科学，生物工程，天体物理和金融数学等领域中众多问题的数值模拟.早期的谱和拟谱方法适用于周期问题和直角区域上的各种微分方程定解问题.近年来，一些作者发展了Jacobi和广义Jacobi正交逼近和有关的Jacobi-Gauss型插值理论，并以此为基础提出计算退化型，奇异型和高阶微分方程的谱和拟谱方法.最近，又提出了一维和二维Legendre拟正交逼近理论及有关插值理论，为研究微分方程的区域分解谱和拟谱方法，以及谱元和拟谱元方法开辟了一条新途径.
　　 从理论上说，谱逼近过程中使用的逼近多项式次数越高，它的数值误差就会越小.然而，在实际计算过程中，使用次数过高的逼近多项式并不方便.反之，若采用谱元和拟谱元方法，即把区域剖分成若干个子区域，并在各子区域上使用不同的逼近多项式次数，就既简化计算过程又提高数值解的精度.因此，谱元和拟谱元方法成为当前谱方法研究中最主要的前沿方向之一.在构造与分析此类方法时，面临如下几个困难.第一，如何在相邻子区域的公共边上匹配数值解及其某些导数？即要求保证整体逼近的连续性和全局谱精度.第二，如何分析整个区域上数值解的谱精度？这就需要发展一套新的数值分析方法.第三，如何设计有效的算法？这就需要合理地构造对应于不同子区域内部，边界和顶点的基函数.一个尚未解决的重要问题是多边形区域上高阶偏微分方程非齐次混合边值问题的谱元方法，它不仅要保持逼近函数在相邻子区域公共边界上的连续性，还要保持其导数连续性，并且要保证在整个区域上组合逼近的谱精度.
　　 本文研究了四阶偏微分方程非齐次混合边值问题的谱元方法及其理论基础.我们首先提出矩形区域上的新Legendre拟正交逼近，建立了最佳逼近阶数的误差估计.其次，对可剖分为多个矩形的多角形区域建立了组合Legendre拟正交逼近理论，它们既在相邻子区域公共边界上保持逼近函数及其导函数的连续性，又保持谱精度，从而奠定了四阶偏微分方程非齐次混合边值问题谱元方法的理论基础.本文还合理地构造了几类基函数，它们分别对应各子区域内部，边界和项点，并在相邻子区域公共边界上保持本身及其法向导函数的连续性，从而在此基础上设计了四阶微分方程非齐次混合边值问题的谱元方法.由于可以在不同子区域内部及其边界上采用不同的拟正交逼近，因此这是一类非一致网格剖分和非一致多项式逼近次数的高精度算法，易于局部网格加密和局部提高逼近多项式的次数，特别适用于真解剧烈变化和震荡的问题.
　　 目前，计算无界区域上微分方程的谱和拟谱方法也发展迅猛.众所周知，在流体力学，电磁场理论和生态学等问题中，经常需要数值计算外部问题.早期的外部问题谱和拟谱方法是应用Laguerre-Fourier逼近和Laguerre-球面调和逼近计算圆外或球外的各种问题.一个重要且有挑战性的问题是如何数值计算非圆或非球型障碍物外部问题.我们可以用一个矩形套住障碍物区域，并将外部区域分成两个子区域.一个是多边形障碍物边界和矩形边界之间的有界子区域，另一个是矩形外的无界子区域.然而，我们面临三个主要困难:第一个困难是如何在无界子区域上恰当地逼近原问题的真解;第二个困难是如何使得数值解在相邻子区域的公共边界上保持某种连续性;第三个困难是如何保证数值解的全局谱精度.对于任意多边形障碍物外部区域上偏微分方程的各种边值和初边值问题，其特殊困难是如何在障碍物和套住障碍物的矩形之间的有界子区域上合理地逼近原问题的真解，即需要建立由区域剖分所得的有界或无界子区域上的各种拟正交逼近和插值理论，并由此组合成整个无界外部区域的拟正交和插值逼近，它们不仅在相邻子区域的公共边界上保持一定的连续性，并且保持整体谱精度.此外，还需要设计各种类型的基函数，使得数值解也保持类似的连续性，并且由此得到的谱和拟谱格式易于计算.
　　 本文研究了任意多边形障碍外部问题的区域分解谱方法.我们首先提出了一般凸四边形区域上的新Legendre拟正交逼近，无界带状区域上的Legendre-Laguerre拟正交逼近和角型区域上的二维Laguerre拟正交逼近，并分别建立了最佳逼近阶数的误差估计.其次，对整个多边形障碍物外部区域建立了组合拟正交逼近理论，它们既在相邻子区域公共边界上保持逼近函数的连续性，又保持谱精度，从而奠定了多边形障碍物外部区域上二阶偏微分方程非齐次边值问题区域分解谱方法的理论基础.我们还合理地构造了几类基函数,它们分别对应不同类型子区域内部，边界和顶点，并在相邻子区域公共边界上保持连续性.在此基础上，我们设计了任意多边形障碍物外部问题区域分解谱方法.特别，针对真解在所定义的局部区域上剧烈变化或震荡的问题，我们提出了非一致多项式逼近次数的高精度算法，它既节省工作量又提高数值解的精度.

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