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基于主元加权的病态线性方程组算法研究

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摘要

1 绪论

1．1 研究背景

1．2 研究意义

1．3 研究现状

1．4 结构框架

2 预备知识

2．1 病态线性方程组

2．2 条件数

2．3 预处理方法

3 单参数迭代法

3．1 单参数迭代法的构造

3．2 单参数迭代法的收敛性分析

3．3 单参数迭代法的条件数分析

3．4 数值实验

4 新主元加权法

4．1 新主元加权法的构造

4．2 新主元加权法的收敛性分析

4．3 新主元加权法的条件数分析

4．4 数值实验

5 结论

6 研究展望

参考文献

附录

致谢

在校期间的主要成果

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摘要

基于主元加权预处理的思想，针对病态线性方程组的特点，首先，本文通过对系数矩阵进行分裂，然后引入参数，构造了一种新的单参数迭代法，并分析了收敛性和条件数。其次，通过对主元加权预处理中加权矩阵的改进，得到了两种新主元加权迭代法。新主元加权迭代法能更好降低系数矩阵的条件数和加快收敛速度。同时，它还能针对系数矩阵的不同主元自动进行不同权值韵叠加，这能有效降低算法对加权因子的依赖。
　　三种新算法的核心思想虽仍然是对主元进行预处理，但单参数迭代法是通过先对系数矩阵进行预处理，然后引入一个参数来作用系数矩阵的主元，再结合迭代改善法求解病态线性方程组。在保证与原方程系数矩阵近似的情况下，单参数迭代法改变了系数矩阵的主元，可以降低系数矩阵的条件数。并且，单参数迭代法对于高阶的病态线性方程组的求解仍然十分有效，因而适用范围较广。两种新主元加权法实质是对主元加权的预处理思想进行改进，因此新主元加权法又可以作为一种预处理方法与求解线性方程组的其他算法相结合，更好地求解病态线性方程组。新主元加权法虽然也是对主元叠加权值，但它是通过构造参数控制的对角矩阵分别对主元进行不同权值的叠加。这能更好地降低系数矩阵的条件数，使矩阵特征值的分布更集中，从而使收敛速度得到加快.三种新算法保持了主元加权法的简洁性，结构简单，计算量小，具有编程简单和内存需求少的特点。数值实验也验证了求解过程的稳定性及高效性。

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