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求解非线性方程组的一种新方法——指数同伦法

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摘要

1 绪论

1．1 研究背景

1．2 研究现状

1．3 结构框架

2 预备知识

3 同伦算法

3．1 同伦算法的基本思想

3．2 同伦算法的数值解法

3．3 本章小结

4 指数同伦法

4．1 指数同伦方程的构造

4．2 指数同伦法解的存在性

4．3 指数同伦法的收敛性

4．4 指数同伦算法

4．5 数值实验

5 指数同伦法的应用

6 结论与研究展望

6．1 结论

6．2 研究展望

参考文献

致谢

在校期间的主要成果

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摘要

在求解非线性方程组的数值方法中，同伦算法是一种大范围收敛的算法，具有对初始值没有严格限制的优点，但当牛顿同伦中同伦算子H的偏导数Hx(x，t）奇异时，同伦算法不收敛.为此，通过引入参数和指数因子改进，构造一种新的同伦函数，得到一种新的方法即指数同伦法.
　　本文从五个方面展开论述指数同伦法.第一，分析非线性方程组的研究背景和重要意义，以及同伦算法的发展前景和应用价值，指明研究方向;第二，阐述同伦算法的基本思想，并列举同伦方程的数值解法及其步骤;第三，以牛顿同伦方程为基础，构造新的同伦函数，给出相应的指数同伦方程与转化后的初值问题，利用参数微分法得到指数同伦方程的迭代序列，再与Newton法组合为一种新的方法—指数同伦法;第四，对指数同伦法解的存在性和收敛性进行详细的分析，根据算法的原理，通过数值仿真实验验证新方法的可行性与高效性;第五，讨论指数同伦法的具体应用.将指数同伦算法应用在实际生活较常用的逆变器消谐模型中得到了较好的效果，不仅克服了Newton法的不收敛，而且比其它方法的结果更接近实际值，结果表明该方法为解决实际问题提供了一种有效简便的途径.
　　指数同伦法是一种结合同伦算法与Newton法的组合法，通过引入参数和指数因子构造新的同伦方程.它的迭代序列简单，收敛速度快，弥补了因同伦算子H的奇异性导致许多数值方法在求解非线性方程组中不收敛的缺陷.

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