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具有尖峰孤子解可积系统的非局部对称与守恒律

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如今非线性现象越来越多的出现在自然科学与社会科学中，用来描述该现象的微分方程受到相关数学家和物理学家的关注.　　本文主要研究了几个偏微分方程的非局部对称和守恒律以及精确解．包括两分量μ-Camassa-Holm方程，带有色散项γux的μ-Camassa-Holm方程，Foursov方程，复Camassa-Holm方程．本文还考虑浅水波方程3x3的谱问题，构造了Degasperis-Procesi方程和Novikov方程的无穷多守恒律，证明了Degasperis-Procesi方程和Novikov方程没有依赖其拟势函数的非局部对称．　　本文主要内容如下：　　首先，主要介绍了所研究方程的背景，以及研究非局部对称和求精确解所用的基本理论和方法．　　其次，我们研究了两分量μ-Camassa-Holm方程的非局部对称和守恒律，该方程是两分量Camassa-Holm方程的一个short-wave极限，先从该方程的几何可积性出发，得到方程的拟势函数进而构造方程的守恒律，并且得到方程无穷多守恒律，其次，根据这个方程仅有平凡的李对称和方程特殊结构，我们研究了它的非局部对称，最后，得到两分量μ-Camassa-Holm方程依赖其势函数的非局部对称．然后考虑带有低阶色散项γux的μ-Camassa-Holm方程，从该方程Lax对出发，借助其波函数，构造方程拟势函数，利用所得的拟势函数得到守恒律以及无穷多守恒量，进而运用李对称方法得到该方程依赖拟势函数的非局部对称．修正的μ-Camassa-Holm方程是作为修正Camassa-Holm方程非局部形式提出来的，从该方程几何可积性出发，求出拟势函数，进一步构造无穷多守恒律，并且证明该方程不具有依赖拟势函数的非局部对称．短脉冲方程是包含一阶线性项ux的修正μ-Camassa-Holm方程的伸缩极限方程，本章最后得到该方程的拟势函数，无穷多守恒律.　　第三，运用不变子空间的方法结合广义条件对称方法研究b-family系统的精确解．这种解是由三维的不变子空间生成，对应于方程的一类广义条件对称，其中系数依赖于时间的函数满足Emden方程，通过对Emden方程解的结构进行分析得到了方程解的结构，给出了解整体存在性和爆破条件，进而对解的结构给出完整的刻画．然后研究对偶Foursov方程的尖峰孤子解．先得到方程的弱形式，然后利用方程的弱形式证明该方程具有尖峰孤子解．最后讨论复Camassa-Holm系统，这类系统可以从M(o)bus几何曲线流中得到，我们证明了该方程具有尖峰孤子解.　　第四，考虑Degasperis-Procesi方程和Novikov方程的无穷多守恒律以及非局部对称，Degasperis-Procesi方程和Novikov方程是典型的具有3x3谱问题的波方程，以构造2x2谱问题方程的非局部对称和守恒律的方法为基础扩展到3x3谱问题的方程．先构造出Degasperis-Procesi方程的两个势函数和两个拟势函数，进一步通过势函数做幂级数展开，比较相同普参数入的系数达到无穷多守恒律，最终运用李对称方法得到该方程的超定方程组，对方称组分析得到Degasperis-Procesi方程不具有依赖其拟势函数的非局部对称．同样对于Novikov方程，求出其势函数和拟势函数，对势函数进行同样处理，得到无穷多守恒量，最后，知道该方程组不具有依赖其势函数的非局部对称.　　最后，对尚待解决的问题进行了讨论.

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