图上的几何方程与离散曲率流

声明

致谢

1 绪论

1.1 研究背景

1.1.1 图上的Yamabe型问题的历史背景与研究现状

1.1.2 组合Calabi流的历史背景与研究现状

1.2 本文的主要结果

1.2.1 图上的几何方程

1.2.2 离散曲率流

2 预备知识

2.1 加权图的基本概念和符号

2.2 离散曲率流相关概念

2.2.1 Circle packing度量

2.2.2 组合Gauss曲率

2.2.3 组合p-阶Calabi流

2.2.4 组合p-阶Ricci流

3 局部有限的加权图上p-阶Yamabe型方程正解的存在性

3.1 预备知识

3.2 主要结论

3.2.1 连续可微性

3.2.2 (u)的严格正性

3.2.3 具有严格正解

4 局部有限的加权图上的一些非线性方程的全局解的存在性

4.1 研究背景

4.2 预备知识

4.3 主要结论

4.4 两个主要定理的证明

4.4.1 定理4.3.1的证明

4.4.2 定理4.3.2的证明

4.5 另一种方式定义的离散型p-阶拉普拉斯算子

5 曲面上的组合p-阶Calabi流

5.1 背景知识

5.2 预备知识

5.2.1 基本性质

5.2.2 组合Ricci势能

5.2.3 组合p-阶Calabi流

5.3 一致估计

5.4 长时间存在性

5.5 长时间收敛性

5.5.1 组合p-阶拉普拉斯算子的一些性质

5.5.2 命题5.5.2的证明

5.5.3 定理5.5.1的证明

6 曲面上的组合p-阶Ricci流

6.1 组合p-阶Ricci流的定义

6.2 主要结论

6.2.1 欧式几何背景下的结论

6.2.2 双曲几何背景下的结论

6.3 基本概念与性质

6.3.1 组合Ricci势能

6.3.2 组合p-阶Ricci流

6.4 长时间存在性

6.5 紧性

6.6 长时间收敛性

7 问题与展望

7.1 规范化的组合p-阶Calabi流

7.2 另一种定义的组合p-阶Calabi流

7.3 组合p-阶Ricci流

参考文献

作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果

独创性声明

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