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图的自同构群与边传递图

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致谢

摘要

1．1 引言

1．2 基本概念

1．3 研究现状

1．3．1 图的自同构群

1．3．2 边传递图

2 奇素数幂阶2-元生成群上的凯菜有向图

2．1 预备知识

2．2 奇素数幂阶2-元生成群上凯莱有向图的正规性

2．3 非正规凯莱有向图的构造

2．4 小结

3 p3阶小度数半弧传递图的分类

3．1 预备知识

3．2 p3阶6度和8度半弧传递图的分类

3．3 小结

4 素数幂阶亚循环群上半弧传递的二部双凯莱图

4．1 预备知识

4．2 非交换亚循环p-群上二部双凯莱图的正规性

4．3 边传递的二部双凯莱图

4．4 小结

5 VQn和FQn的正规性和全自同构群

5．1 预备知识

5．2 VQn的正规性和全自同构群

5．3 FQn的正规性和全自同构群

5．4 小结

6 结论

参考文献

作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果

学位论文数据集

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摘要

称图Γ是点传递，边传递或弧传递的，假如Γ的全自同构群分别作用在Γ的顶点集，边集或者弧集上传递.称图Γ是半对称图，如果Γ的全自同构群作用在Γ的边集上传递，但在顶点集上不传递.称图Γ是半弧传递图，如果Γ的全自同构群作用在Γ的顶点集和边集上传递，但在弧集上不传递.称群G是2-元生成的，如果它的任意正规子群都可以由两个元素生成.研究图的全自同构群是代数图论中最基本也是最困难的问题，本文通过研究凯莱（有向）图和双凯莱图的正规性，给出了它们的全自同构群，利用正规性构造了半弧传递图的无限类.
　　文章结构组织如下:
　　第1章绪论部分，主要介绍了本文所要用到的有限群论和图论的基本概念，以及与凯莱（有向）图和双凯莱图的正规性，图的边传递性研究相关的背景知识和本文主要工作.
　　第2章我们研究凯莱有向图的全自同构群.我们利用陪集有向图构造了4个非正规的非交换2-元生成pn（p是一个奇素数，n是一个正整数）阶群上的凯莱有向图，并且这4个有向图对应的基图中，有3个是半弧传递的.
　　设G是一个非交换2-元生成pn阶群，S是G的不包含单位元的子集，Γ=Cay(G，S)是群G上关于集合S的连通凯莱有向图.我们证明了如果Aut(G，S)是一个p'-群，那么凯莱有向图Γ要么是正规的，即G的右正则表示在全自同构群Aut(Γ)中正规，此时凯莱有向图的全自同构群可根据[Discrete Mathematics，1998(182):309-319]得到;要么p=3，5，7，11，此时给出了它的全自同构群的一个刻画:ASL(2，p)≤Aut(Γ)/Φ(Op(Aut(Γ)))≤AGL(2，p).显然，亚循环群一定是2-元生成的，但反之不然，又凯莱图（即无向图）可以看作是凯莱有向图的特殊情况.本章我们推广了[Journal of the Australian Mathematical Society,2001(71):223-231]中关于非交换亚循环p-群上凯莱图的全自同构群的结果.
　　当p=3，5，7，11时，我们通过陪集有向图构造出了具有最小阶数和最小出度的非正规的例子.在这4个例子当中，p=3，7，11对应的基图是半弧传递的.
　　第3章我们分类了p3阶6度和8度的半弧传递图，除了得到一类已知的亚循环p-群上的半弧传递图之外，还构造了非亚循环p-群上新的无限类.推广了p3阶4度半弧传递图的结果[J.Algebraic Combin.，1992(1):275-282].
　　第4章研究双凯莱图的全自同构群，应用其结果对限定度数的边传递的二部双凯莱图给出了分类.
　　设G是一个非交换亚循环p-群（p是一个奇素数），S是G的包含单位元的子集，令Γ是群G上关于集合S的连通二部双凯莱图.我们证明了如果G是Aut(Γ)的西罗p-子群，那么Γ是正规双凯莱图，此时双凯莱图的全自同构群可根据[Journal of Combinatorial Theory, Series B，2016(116):504-532]得到.
　　作为应用，我们证明了当Γ度数小于p时，双凯莱图Γ不可能是半对称或者弧传递;当Γ度数小于2p时，我们完全分类了半弧传递的双凯莱图Γ.
　　第5章研究两类特殊的凯莱图，分别是变形超立方体图VQn和折叠超立方体图FQn，这是在网络中广泛应用的两类图.我们证明了这两类图都是正规凯莱图，并由此决定了它们的全自同构群.
　　第6章讨论一些有待进一步研究的问题.

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