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A Weitzenbock Formula for Compact Complex Manifolds and Applications to the Hopf Conjecture in Real Dimension 6.

机译：紧凑复杂流形的Weitzenbock公式及其在实维数Hopf猜想中的应用

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摘要

The Hopf Conjecture is a well-known problem in differential geometry which relates the geometry of a manifold to its topology [Hopf 1]. In this thesis, we investigate this problem on compact complex real 6-dimensional manifolds. First, we prove a Weitzenbock formula on a complex manifold involving the Hodge Laplacian DeltaH, the Bochner Laplacian of the Levi-Civita connection DeltaR, and another Laplacian we construct that is related to the Lefschetz operator and ∂ operator on a compact complex manifold DeltaK such that for any (p,q)--form in [2.11], DeltaK + DeltaH -- 2Delta R = F(R)+"quadratic terms" where the curvature operator F(R): Ep,q → Ep,q and the quadratic terms are given in [2.12]. This formula generalizes a Weitzenbock formula of Wu for Kahler manifolds in [Wu]. Then, under certain conditions, we show that the Weitzenbock formula provides vanishing theorems for the Dolbeault cohomology groups of complex differential (p,q)--forms and obtain information about the Hodge numbers of the manifold. We use these vanishing theorems to obtain information about the geometric and arithmetic genus and irregularity of a compact complex manifold under certain conditions. Earlier result of Alfred Gray shows that a hypothetical integrable almost complex structure on a 6-dimensional sphere, S6, has to satisfy h0,1 > 0 [Gray]. We apply our vanishing theorem for (0,1)--forms to show that h 0,1 = 0 and thus, under certain additional conditions a 6-dimensional sphere can not have integrable almost complex structure. We use the Frolicher spectral sequence to obtain the Hodge-deRham cohomology groups of any compact complex manifold of real dimension 6 and show that under certain conditions, the Euler characteristic of a compact complex manifold of real dimension 6 is positive to prove the Hopf conjecture.
机译：Hopf猜想是微分几何中的一个众所周知的问题，它使流形的几何形状与其拓扑相关[Hopf 1]。在本文中，我们研究了紧凑的复杂实六维流形上的这个问题。首先，我们证明了一个复杂流形上的Weitzenbock公式，该流形涉及Hodge Laplacian DeltaH，Levi-Civita连接DeltaR的Bochner Laplacian，以及我们构造的另一个Laplacian，它与紧凑复流形DeltaK上的Lefschetz算子和∂算子有关。对于[2.11]中任何（p，q）-形式，DeltaK + DeltaH-2Delta R = F（R）+“二次项”，其中曲率算子F（R）：Ep，q→Ep，q和二次项在[2.12]中给出。该公式概括了[Wu]中Kahler流形的Wu的Weitzenbock公式。然后，在特定条件下，我们证明Weitzenbock公式为复微分（p，q）-形式的Dolbeault同调群提供了消失定理，并获得了关于流形的Hodge数的信息。我们使用这些消失定理来获得有关在某些条件下紧凑型复杂流形的几何和算术属以及不规则性的信息。阿尔弗雷德·格雷（Alfred Gray）的早期结果表明，在6维球面上假设的可积分几乎复杂的结构S6必须满足h0,1> 0 [灰色]。我们应用（0,1）-形式的消失定理来证明h 0,1 = 0，因此，在某些附加条件下，一个6维球体不可能具有可积分的几乎复杂的结构。我们使用Frolicher谱序列获得任何实数为6的紧凑型复杂流形的Hodge-deRham同调群，并证明在某些条件下，实数为6的紧凑型复杂流形的欧拉特性对证明Hopf猜想是正的。

著录项

  • 作者

    Ferahlar, Cuneyt.;

  • 作者单位

    Lehigh University.;

  • 授予单位 Lehigh University.;
  • 学科 Mathematics.
  • 学位 Ph.D.
  • 年度 2016
  • 页码 168 p.
  • 总页数 168
  • 原文格式 PDF
  • 正文语种 eng
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