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Limit theorems for stationary Markov processes with L~2-spectral gap

机译：具有L〜2谱隙的平稳Markov过程的极限定理

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摘要

Soit (X_t, Y_t)_(t∈T) un processus de Markov en temps discret ou continu et d'espace d'état X×R~d où X est un ensemble mesurable quelconque. Son semi-groupe de transition est supposé additif suivant la seconde composante, i.e. (X_t, Y_t)_(t∈T) est un processus additif Markovien. En particulier, ceci implique que la première composante (X_t)_(t∈T) est également un processus de Markov. Les marches aléatoires Markoviennes ou les fonctionnelles additives d'un processus de Markov sont des exemples de processus additifs Markoviens. Dans cet article, on montre que le processus (Y_t)_(t∈T) satisfait les théorèmes limites classiques suivants : (a) le théorème de la limite centrale, (b) le théorème limite local, (c) le théorème uniforme de Berry-Esseen en dimension un, (d) le développement d'Edgeworth d'ordre un en dimension un, pourvu que la condition de moment sup_((t∈)(0,1]∩t) E_π,0[|Y_t|~α]<∞ soit satisfaite, avec l'ordre attendu α du cas indépendant (à un ε > 0 près pour (c) et (d)). Pour les énoncés (b) et (d), il faut ajouter une condition nonlattice comme dans le cas indépendant. Tous les résultats sont obtenus sous l'hypothèse d'un processus de Markov (X_t)__(t∈T) admettant une mesure de probabilité invariante π et possédant la propriété de trou spectral sur L~2 (π) (c'est à dire, (X_t)_(t∈T) est ρ-mélangeante dans le cas du temps discret). Le cas où (X_t)_(t∈T) est non-stationnaire est brièvement abordé. Nous appliquons nos résultats pour obtenir une borne de Berry-Esseen pour les M-estimateurs associés aux chaînes de Markov ρ-mélangeantes.%Let (X_t, Y_t)_(t∈T) be a discrete or continuous-time Markov process with state space X×R~d where X is an arbitrary measurable set. Its transition semigroup is assumed to be additive with respect to the second component, i.e. (X_t, Y_t)_(t∈T) is assumed to be a Markov additive process. In particular, this implies that the first component (X_t)_(t∈T) is also a Markov process. Markov random walks or additive functionals of a Markov process are special instances of Markov additive processes. In this paper, the process (Yt)_(t∈T) is shown to satisfy the following classical limit theorems: (a) the central limit theorem, (b) the local limit theorem, (c) the one-dimensional Berry-Esseen theorem, (d) the one-dimensional first-order Edgeworth expansion,provided that we have sup_((t∈)(0,1]∩t) E_π,0[|Y_t|~α]<∞ with the expected order α with respect to the independent case (up to some ε> 0 for (c) and (d)). For the statements (b) and (d), a Markov nonlattice condition is also assumed as in the independent case. All the results are derived under the assumption that the Markov process (X_t)_(t∈T) has an invariant probability distribution π, is stationary and has the L~2(π)-spectral gap property (that is, (X_t)_(t∈T) is p-mixing in the discrete-time case). The case where (X_t)_(t∈T) non-stationary is briefly discussed. As an application, we derive a Berry-Esseen bound for the M-estimators associated with p-mixing Markov chains.
机译：令（X_t，Y_t）_（t∈T）是离散或连续时间的Markov过程，其状态空间为X×R〜d，其中X是任何可测量的集合。它的过渡半群应该根据第二个分量相加，即（X_t，Y_t）_（t∈T）是马尔可夫加法过程。特别地，这意味着第一分量（X_t）_（t∈T）也是马尔可夫过程。随机马尔可夫游走或马尔可夫过程的加法功能是马尔可夫加法过程的示例。在本文中，我们证明过程（Y_t）_（t∈T）满足以下经典极限定理：（a）中心极限定理，（b）局部极限定理，（c）的一致定理Berry-Esseen在第一维中，（d）在第一维的Edgeworth的展开中，条件是矩sup _（（t∈）（0,1]∩t）E_π，0 [| Y_t |满足〜α] <∞，在独立情况下的预期阶数为α（（c）和（d）在ε> 0内）。对于语句（b）和（d），必须添加一个条件所有结果都是在马尔可夫过程（X_t）__（t∈T）的假设下获得的，该过程允许一个不变的概率测度π，并且具有L〜2（ π）（即，（X_t）_（t∈T）在离散时间的情况下是ρ混合，简要讨论（X_t）_（t∈T）是非平稳的情况。我们应用我们的结果来获得M估计值assoc的Berry-Esseen界％令（X_t，Y_t）_（t∈T）是状态空间为X×R〜d的离散或连续时间马尔可夫过程，其中X为任意可测集。假定其过渡半群相对于第二分量是可加的，即（X_t，Y_t）_（t∈T）被假定为马尔可夫加成过程。特别地，这意味着第一分量（X_t）_（t∈T）也是马尔可夫过程。马尔可夫过程的马尔可夫随机游走或加法功能是马尔可夫加法过程的特殊实例。本文证明过程（Yt）_（t∈T）满足以下经典极限定理：（a）中心极限定理，（b）局部极限定理，（c）一维Berry- Esseen定理，（d）一维一阶Edgeworth展开，条件是我们有期望sup _（（t∈）（0,1]∩t）E_π，0 [| Y_t |〜α] <∞相对于独立情况，α（（c）和（d）的最大ε> 0）对于陈述（b）和（d），也假定马尔可夫非晶格条件与独立情况相同。在假设马尔可夫过程（X_t）_（t∈T）的概率分布为π不变，平稳且具有L〜2（π）的光谱间隙性质（即（X_t）_（ t caseT）是离散时间情况下的p混合）。简要讨论了（X_t）_（t∈T）非平稳的情况。作为一个应用，我们导出M-的Berry-Esseen界与p混合马尔可夫链相关的估计。

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