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Product of exponentials and spectral radius of random k-circulants

机译：指数和随机k-循环的谱半径的乘积

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摘要

We consider n×n random k-circulant matrices with n→∞ and k = k(n) whose input sequence {α_1}_(l≤0) is independent and identically distributed (i.i.d.) random variables with finite (2 + δ) moment. We study the asymptotic distribution of the spectral radius, when n =k~g + 1. For this, we first derive the tail behaviour of the g fold product of i.i.d. exponential random variables. Then using this tail behaviour result and appropriate normal approximation techniques, we show that with appropriate scaling and centering, the asymptotic distribution of the spectral radius is Gumbel. We also identify the centering and scaling constants explicitly.%Nous considérons des matrices aléatoires k-circulantes de taille n×n avec n→∞ et k = k(n), dont les entrées {α_1}_l≤0 sont des variables aléatoires, de moment (2 + δ) fini, indépendantes et identiquement distribuées. Nous étudions la distribution asymptotique du rayon spectral, lorsque n = k~g + 1. Pour établir cette distribution asymptotique, nous calculons d'abord le comportement de la queue du produit de g variables aléatoires exponentielles i.i.d. Ensuite, en utilisant un résultat sur le comportement des queues et les techniques appropriées d'approximation normale, nous montrons que, après renormalisation et recentrage, la distribution limite est une distribution de Gumbel. Nous identifions explicitement les constantes de recentrage et de remise à l'échelle.
机译：我们考虑n×n个随机n循环矩阵，其中n→∞，并且k = k（n），其输入序列{α_1} _（l≤0）是独立的并且是均匀分布的（iid）有限随机变量（2 +δ）时刻。当n = k〜g + 1时，我们研究光谱半径的渐近分布。为此，我们首先导出i.d.的g倍积的尾部行为。指数随机变量。然后，使用该尾部行为结果和适当的法线逼近技术，我们表明，通过适当的缩放和居中，光谱半径的渐近分布为Gumbel。我们还明确地确定了定心和定标常数。％无条件矩阵k循环n×n aven n→∞et k = k（n），无实体{α_1}_l≤0无变量变量，矩（2 +δ）的定义，独立分布和识别分布。人造纤维光谱的渐近分布，洛斯克n = k〜g + 1。随员，队列和其他技术的综合使用适合于近似逼近，基本理论，近距离归一化和重新分布，基于Gumbel的分布限制和分布。名词的确定性是不变性和永久性的。

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