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Uniqueness and approximate computation of optimal incomplete transportation plans

机译：最优不完整运输计划的唯一性和近似计算

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For α ∈ (0,1) an a-trimming, P*, of a probability P is a new probability obtained by re-weighting the probability of any Borel set, B, according to a positive weight function, f ≤ 1/1-a ,in the way P*(B) = f_B f(x)P(dx). If P, Q are probability measures on Euclidean space, we consider the problem of obtaining the best L2-Wasserstein approximation between: (a) a fixed probability and trimmed versions of the other; (b) trimmed versions of both probabilities. These best trimmed approximations naturally lead to a new formulation of the mass transportation problem, where a part of the mass need not be transported. We explore the connections between this problem and the similarity of probability measures. As a remarkable result we obtain the uniqueness of the optimal solutions. These optimal incomplete transportation plans are not easily computable, but we provide theoretical support for Monte-Carlo approximations. Finally, we give a CLT for empirical versions of the trimmed distances and discuss some statistical applications.%Pour α ∈ (0,1), une a-coupe P* d'une probabilité P selon une fonction positive / majorée par 1/(1 — α) est la probabilité obtenue pour tout ensemble de Borel B par P*(B) = f_B f(x)P(dx).rnSi P, Q sont deux probabilités sur l'espace euclidien, on considère le problème de minimiser la distance de Wasserstein L~2 entre (a) une probabilité et ses versions coupées (b) les versions coupées de deux probabilités. Ce problème mène naturellement à une nouvelle formulation du problème de transport de masse, où une partie de la masse ne doit pas être transportée. Nous explorons les liaisons entre ce problème et la similitude des mesures de probabilité. Un de nos résultats remarquables est l'unicité du transport de masse. Ces plans de transport optimal incomplets ne sont pas facilement calculables mais nous fournissons un appui théorique pour des approximations de Monte-Carlo. Enfin, nous donnons un TCL pour les versions empiriques des distances coupées et discutons certaines applications statistiques.
机译：对于α∈（0,1），概率P的a-修剪P *是通过根据正权函数f≤1/1对任何Borel集B的概率重新加权而获得的新概率-a，方式为P *（B）= f_B f（x）P（dx）。如果P，Q是欧几里德空间上的概率测度，我们将考虑在以下两个方面获得最佳L2-Wasserstein逼近的问题： （b）两种概率的精简版本。这些最佳修整的近似值自然导致了大规模运输问题的新提法，其中一部分运输不需要进行。我们探索了这个问题与概率测度相似性之间的联系。作为一个了不起的结果，我们获得了最优解的唯一性。这些最优的不完整运输计划不容易计算，但是我们为蒙特卡洛近似提供理论支持。最后，我们给出修整距离的经验形式的CLT并讨论一些统计应用。％Pourα∈（0,1），a coupe P * d'uneprobabilitéP塞隆une函数正/专业par 1 /（ 1 –α）可以从Borel B集合中获得的最大概率的生产能力P *（B）= f_B f（x）P（dx）.rnSi P，关于最小欧氏概率的概率论，在最小限度的问题上Wasserstein L〜2实体的距离（a）双门轿跑车的概率版本（b）双门轿跑车的概率版本。运输，运输和运输方面的集体诉讼概率问题联络人概论联合国运输和发展部重新定名。最佳运输计划书由蒙特卡洛近似计算得出，可按需计算。 Enfin，Nos Donnons和TCL版本的经验证明和证据确定应用统计。

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