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Bilinear Controllability of a Class of Advection–Diffusion–Reaction Systems

机译：一类平程扩散反应系统的双线性可控性

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摘要

In this paper, we investigate the exact controllability properties of an advection-diffusion equation on a bounded domain, using time- and space-dependent velocity fields as the control parameters. This partial differential equation (PDE) is the Kolmogorov forward equation for a reflected diffusion process that models the spatiotemporal evolution of a swarm of agents. We prove that if a target probability density has bounded first-order weak derivatives and is uniformly bounded from below by a positive constant, then it can be reached in finite time using control inputs that are bounded in space and time. We then extend this controllability result to a class of advection-diffusion-reaction PDEs that corresponds to a hybrid switching diffusion process (HSDP), in which case the reaction parameters are additionally incorporated as the control inputs. For the HSDP, we first constructively prove controllability of the associated continuous-time Markov chain (CTMC) system in which the state space is finite. Then, we show that our controllability results for the advection-diffusion equation and the CTMC can be combined to establish controllability of the forward equation of the HSDP. Finally, we provide constructive solutions to the problem of asymptotically stabilizing an HSDP to a target nonnegative stationary distribution using time-independent state feedback laws, which correspond to spatially dependent coefficients of the associated system of PDEs.
机译：在本文中，我们使用时间和空间依赖的速度场作为控制参数，研究了边界域上的平行扩散方程的确切可控性特性。这种部分微分方程（PDE）是用于反射扩散过程的KOLMOGOOROV前向方程，其模拟了一群代理的时空演变。我们证明，如果目标概率密度具有有界的一阶弱衍生物，并且通过正常常数均匀地界定，则可以在有限时间内使用空间和时间界定的控制输入来达到它。然后，我们将该可控性扩展到一类对应于混合开关扩散过程（HSDP）的一类平行扩散反应PDE，在这种情况下，还原反应参数作为控制输入。对于HSDP，我们首先建设性地证明相关的连续时间马尔可夫链（CTMC）系统的可控性，其中状态空间是有限的。然后，我们表明我们可以组合我们对平行扩散方程和CTMC的可控性结果以建立HSDP的前向等式的可控性。最后，我们使用时间独立的状态反馈法律向目标非负静止分布渐近稳定HSDP的问题提供建设性的解决方案，这对应于PDE的相关系统的空间相关系数。

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