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【24h】

Renormalization of one-parameter families of piecewise isometries

机译：单参数分段等距族的重新规范化

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摘要

We consider two one-parameter families of piecewise isometries of a rhombus. The rotational component is fixed, and its coefficients belong to a quadratic number field Q(d~(1/2)). The translations depend on a parameter s which is allowed to vary in an interval. We investigate renormalizability, and show that recursive constructions of first-return maps on a suitable subdomain eventually produce a scaled-down replica of this domain, but with a renormalized parameter r(s). We treat two quadratic fields: d = 5, 2. In the first case, the renormalization map r is of Luroth type (a piecewise-affine version of Gauss' map), whereas in the second case, it is the second iterate of a map f of this type. We show that exact self-similarity corresponds to the eventually periodic points of r (resp. f), and that such parameter values are precisely the elements of the quadratic field that lie in the given interval. The renormalizability proof for Q(5~(1/2) is based on a straightforward application of return-map analysis. The octagonal case Q(2~(1/2)) is far more challenging. The proof is organized by a graph analogous to those used to construct renormalizable interval-exchange transformations. There are 10 distinct renormalization scenarios corresponding to as many closed circuits in the graph. The process of induction along some of these circuits involves intermediate maps undergoing, as the parameter varies, infinitely many bifurcations. Our proofs rely on comouter assistance.
机译：我们考虑菱形的两个单参数的分段等距族。旋转分量是固定的，其系数属于二次数场Q（d〜（1/2））。转换取决于参数s，该参数s可以在间隔中变化。我们调查了可归一化性，并显示了在适当子域上的首次返回映射的递归构造最终产生了该域的按比例缩小的副本，但具有重新归一化的参数r（s）。我们处理两个二次场：d = 5，2。在第一种情况下，重归一化映射图r是Luroth类型（高斯图的分段仿射版本），而在第二种情况下，它是a的第二次迭代这种类型的图f。我们显示出精确的自相似性对应于r的最终周期点（分别为f），并且这样的参数值恰好是位于给定间隔中的二次场的元素。 Q（5〜（1/2））的可重归一化证明基于返回图分析的直接应用，八角形情况Q（2〜（1/2））更具挑战性，该证明由图形组织类似于用于构造可重归化的间隔交换变换的那些。有10种不同的重归一化方案对应于图中的闭合回路。沿着这些回路中的一些回路的归纳过程涉及中间图，随着参数的变化，无限次分叉我们的证明依靠同伴的协助。

著录项

  • 来源
    《Dynamical Systems》 |2016年第4期|393-465|共73页
  • 作者

    J. H. Lowenstein; F. Vivaldi;

  • 作者单位

    Department of Physics, New York University, New York, NY, USA;

    School of Mathematical Sciences, Queen Mary University of London, London, UK;

  • 收录信息 美国《科学引文索引》(SCI);美国《工程索引》(EI);美国《生物学医学文摘》(MEDLINE);美国《化学文摘》(CA);
  • 原文格式 PDF
  • 正文语种 eng
  • 中图分类
  • 关键词

    Piecewise isometries; renormalization;

    机译：分段等距;重新规范化;

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