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【24h】

Symmetric And Non-symmetric Periodic Orbits For The Digital Filter Map

机译：数字滤波器图的对称和非对称周期轨道

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We exhibit instances of non-symmetric periodic orbits for the digital filter map, resolving a question posed in the literature as to whether such orbits can exist. This piecewise irrational rotation, depending on a parameter a = 2cosθ, is an isometry of [-1,1) × [-1,1) and reflections in the two diagonals are time-reversing symmetries for the map. Symmetric orbits are plentiful and have been much investigated. Each periodic orbit is paired with a symbolic string, from the alphabet {-, 0, +}, arising under iteration of the map because of the presence of a line of discontinuity. We prove the existence of an infinite family of non-symmetric orbits where the period N starts at 29 and increases in steps of 5; they correspond to the strings ( + 00)~5(+ -)~20~(N-19). We describe several computer algorithms to find non-symmetric periodic orbits and their symbolic strings and list non-symmetric strings both for a = 0.5, and for N ≤ 100 across the parameter range. Our evidence suggests that non-symmetric orbits, though not plentiful, are characteristic of the dynamics of the map for all parameter values.
机译：我们展示了用于数字滤波器图的非对称周期轨道的实例，从而解决了文献中关于此类轨道是否存在的问题。取决于参数a =2cosθ的这种分段非理性旋转是[-1,1）×[-1,1）的等轴测图，两个对角线中的反射是该图的时间反转对称性。对称轨道很多，已经进行了大量研究。每个周期轨道都与一个符号字符串配对，该符号字符串来自字母{-，0，+}，该符号字符串是由于存在不连续线而在地图的迭代过程中出现的。我们证明了存在无限的非对称轨道族，其中周期N从29开始并以5的步长递增；它们对应于字符串（+ 00）〜5（+-）〜20〜（N-19）。我们描述了几种计算机算法来查找非对称周期轨道及其符号串，并列出参数范围内a = 0.5且N≤100的非对称串。我们的证据表明，非对称轨道尽管数量不多，但却是所有参数值映射动态的特征。

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