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【24h】

Polynomial rings over commutative linearly compact rings

机译：交换线性紧环上的多项式环

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A ring R denotes a commutative associative ring with identity and each Rmodule is unitary. For the concepts and symbols not defined here we refer to refs. We call R co-Noetheria (Vamos ring) in the case where each finitely cogenerated R-module is artinian (linearly compact). Muller Theorem states that R has a Morita duality if and only if R is both Vamos and linearly compact (see Theorems 4.3 and 4.5 in ref.). In ref., Anh proved that each linearly compact ring is Vamos, hence it has a Morita duality(see Theorem 6.8 in ref.). A presentation of linearly compact modules and Morita duality can be found in the author's recent book. In this note we prove that a linearly compact ring R is Noetherian if and only if its polynomial ring R[x] is co-Noetherian (Vamos). Then we use an example which gives negative answers to three questions of Faith.
机译：环R表示具有同一性的可交换缔合环，并且每个Rmodule是单一的。对于此处未定义的概念和符号，请参阅参考文献。在每个有限地共同生成的R-模块是artinian（线性紧致）的情况下，我们将其称为R co-Noetheria（Vamos环）。穆勒定理指出，当且仅当R既是Vamos又是线性紧实时，R才具有Morita对偶性（请参见参考中的定理4.3和4.5）。在参考文献中，Anh证明每个线性紧凑的环都是Vamos，因此它具有森田对偶性（请参阅参考文献中的定理6.8）。线性紧凑模块和森田对偶性的介绍可以在作者的最新著作中找到。在此注释中，我们证明，当且仅当线性多项式环R [x]为co-Noetherian（Vamos）时，它才是Noetherian。然后，我们使用一个示例，给出对三个信念问题的否定答案。

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