Kvaternioni su uređene četvorke brojeva za koje vrijede posebna pravila zbrajanja i množenja i koje se mogu predstaviti točkama u 4-dimenzijskom (4D) prostoru. Kvaternioni grade konačne multiplikativne grupe izomorfne poliedarskim grupama. Projekcija osam kvaterniona diedarske grupe D_(2h) za 3D prostor osigurava bazu za kristalne rešetke sve do ortorombske simetrije (a ≠ b ≠ c). Dodavanjem osi simetrije trećeg reda grupi D_(2h) dobiva se tetraedarska grupa T_d sa 24 kvaterniona, čijim se projiciranjem u 3D prostor dobiva baza za kristalne rešetke više simetrije, uključivo i kubične rešetke (a = b = c). Dodavanjem grupi Td osi petog reda dobiva se ikosae-darska grupa I_h sa 120 kvaterniona, čija projekcija na 3D prostor uvodi iracionalni faktor 5~(1/2) pa se ne dobiva baza za 3D rešetke. Ipak, projekcija I_h osigurava bazu za 6D rešetku koja se dade podijeliti na dva međusobno okomita 3D potprostora, od kojih jedan sadržava racionalne koordinate, a drugi koordinate s faktorom 5~(1/2) kao u nekim standardnim modelima za ikosaedarske kvazikristale.%Quaternions are ordered quadruples of four numbers subject to specified rules of addition and multiplication, which can represent points in four-dimensional (4D) space and which form finite groups under multiplication isomorphic to polyhedral groups. Projection of the 8 quaternions of the dihedral group D_(2h), with only two-fold symmetry, into 3D space provides a basis for crystal lattices up to orthorhombic symmetry (a ≠ b ≠ c). Addition of three-fold symmetry to D_(2h) gives the tetrahedral group T_d with 24 quaternions, whose projection into 3D space provides a basis for more symmetrical crystal lattices including the cubic lattice (a = b = c). Addition of five fold symmetry to T_d gives the icosahedral group I_h with 120 quaternions, whose projection into 3D space introduces the 5~(1/2) irrationality and thus cannot provide the basis for a 3D crystal lattice. However, this projection of I_h can provide a basis for a 6D lattice which can be divided into two orthogonal 3D subspaces, one representing rational coordinates and the other representing coordinates containing the 5~(1/2) irrationality similar to some standard models for icosahedral quasicrystals.
展开▼
机译：四元数排列有四个数字，特殊的加法和乘法规则适用于此，并且可以用4维（4D）空间中的点表示。四元数建立与多面体基团同构的有限乘法基团。二面体组D_（2h）的八个四元数对3D空间的投影为晶格达到正交斜对称性（a≠b≠c）提供了基础。将三阶对称轴添加到D_（2x）组，得到具有24个四元数的四面体T_d组，其四面体的投影到3D空间中为更高对称性的晶格（包括立方晶格）提供了基础（a = b = c）。添加一组五阶的Td轴得到具有120个四元数的二十面体I_h组，其在3D空间上的投影引入了5〜（1/2）的非理性因子，因此无法获得3D网格的基础。然而，投影I_h为6D晶格提供了基础，该6D晶格可分为两个相互垂直的3D子空间，一个像二十面体准晶体的标准模型一样，一个包含有理坐标，另一个包含5〜（1/2）的坐标。是受指定加法和乘法规则限制的四个数字的有序四倍体，它们可以表示四维（4D）空间中的点，并且在与多面体组同构的乘法下形成有限组。仅具有两倍对称性的二面体组D_（2h）的8个四元数投影到3D空间中，为晶格达到正交斜对称性（a≠b≠c）提供了基础。在D_（2h）上增加三倍对称性可得到具有24个四元数的四面体组T_d，其四面体的投影到3D空间中为包括立方晶格（a = b = c）的更对称的晶格提供了基础。在T_d上增加五倍的对称性可得到具有120个四元数的二十面体I_h，其四面体投影到3D空间中会引入5〜（1/2）非理性，因此不能为3D晶格提供基础。但是，I_h的这种投影可以为6D晶格提供基础，该6D晶格可以分为两个正交的3D子空间，一个代表有理坐标，另一个代表包含5〜（1/2）非理性的坐标，类似于二十面体的某些标准模型。准晶体。
展开▼
