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Highly nonlinear functions

机译：高度非线性函数

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Let f be a function from Z_q~m to Z_q. Such a function f is bent if all values of its Fourier transform have absolute value 1. Bent functions are known to exist for all pairs (m,q) except when m is odd and q ≡ 2 (mod 4) and there is overwhelming evidence that no bent function exists in the latter case. In this paper the following problem is studied: how closely can the largest absolute value of the Fourier transform of/ approach 1? For q = 2, this problem is equivalent to the old and difficult open problem of determining the covering radius of the first order Reed-Muller code. The main result is, loosely speaking, that the largest absolute value of the Fourier transform of/ can be made arbitrarily close to 1 for q large enough.
机译：令f为从Z_q〜m到Z_q的函数。如果函数f的傅立叶变换的所有值都具有绝对值1，则该函数f会弯曲。已知对于所有对（m，q）都存在弯曲函数，除非当m为奇数且q≡2（mod 4）且有绝大多数证据时在后一种情况下不存在弯曲功能。本文研究以下问题：方法1的傅里叶变换的最大绝对值能接近多大？对于q = 2，此问题等效于确定一阶Reed-Muller码的覆盖半径的古老且困难的开放问题。粗略地讲，主要结果是，对于足够大的q，傅立叶变换的/的最大绝对值可以任意接近1。

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