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【24h】

Double k-sets in symplectic generalized quadrangles

机译：辛广义四边形中的双k集

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In classical projective geometry, a double six of lines consists of 12 lines ℓ_1, ℓ_2,..., ℓ_6, m_1, m_2,..., m_6 such that the ℓ_i are pairwise skew, the m_i are pairwise skew, and ℓ_i meets m_J if and only if i ≠ j. In the 1960s Hirschfeld studied this configuration in finite projective spaces PG(3, q) showing they exist for almost all values of q, with a couple of exceptions when q is too small. We will be considering double-k sets in the symplectic geometry W(q), which is constructed from PG(3, q) using an alternating bilinear form. This geometry is an example of a generalized quadrangle, which means it has the nice property that if we take any line ℓ and any point P not on ℓ, then there is exactly one line through P meeting ℓ. We will discuss all of this in detail, including all of the basic definitions needed to understand the problem, and give a result classifying which values of k and q allow us to construct a double k-set of lines in W(q).
机译：在经典的射影几何中，双六线由12条线ℓ_1，ℓ_2，...，ℓ_6，m_1，m_2，...，m_6组成，这样the_i是成对倾斜的，m_i是成对倾斜的，ℓ_i满足m_J当且仅当i≠j。在1960年代，Hirschfeld在有限的投影空间PG（3，q）中研究了这种结构，表明它们存在于q的几乎所有值上，有两个例外，当q太小时。我们将考虑辛几何W（q）中的双k集，它由PG（3，q）使用交替双线性形式构造而成。这种几何形状是广义四边形的一个示例，这意味着它具有很好的属性，即如果我们沿line取任意直线ℓ而不在ℓ上的任意点P，则通过meeting的正好只有一条直线。我们将详细讨论所有这些，包括理解问题所需的所有基本定义，并给出分类结果，以k和q的哪些值允许我们在W（q）中构造双k套线。

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