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【24h】

On the Hughes-Kleinfeld and Knuth's semifields two-dimensional over a weak nucleus

机译：在弱核上的二维Hughes-Kleinfeld和Knuth半场上

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In 1960 Hughes and Kleinfeld (Am J Math 82:389-392,1960) constructed a finite semifield which is two-dimensional over a weak nucleus, given an automorphism σ of a finite field K and elements μ, η ∈ K with the property that x~(σ+1) + μx - η has no roots in K. In 1965 Knuth (J Algebra 2:182-217, 1965) constructed a further three finite semifields which are also two-dimensional over a weak nucleus, given the same parameter set (K, σ, μ, η). Moreover, in the same article, Knuth describes operations that allow one to obtain up to six semifields from a given semifield. We show how these operations in fact relate these four finite semifields, for a fixed parameter set, and yield at most five non-isotopic semifields out of a possible 24. These five semifields form two sets of semifields, one of which consists of at most two non-isotopic semifields related by Knuth operations and the other of which consists of at most three non-isotopic semifields.
机译：1960年，休斯和克莱因费尔德（Am J Math 82：389-392,1960）构造了一个在弱核上二维的有限半场，给定了有限场K的自同构σ和具有特性的元素μ，η∈K x〜（σ+ 1）+μx-η在K中没有根。1965年，Knuth（J Algebra 2：182-217，1965）构造了另外三个有限半场，它们在弱核上也是二维的，给定相同的参数集（K，σ，μ，η）。此外，在同一篇文章中，Knuth描述了允许一个人从给定的半场获得最多六个半场的操作。我们展示了对于固定参数集，这些运算实际上如何与这四个有限半场相关联，并在可能的24个中最多产生五个非同位素半场。这五个半场形成了两组半场，其中一组半场最多由Knuth运算关联的两个非同位素半场，另一个由最多三个非同位素半场组成。

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