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Local Schur's Lemma and Commutative Semifields

机译：本地舒尔引理和交换半场

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A set of linear maps R is contained in GL(V , K), V a finite vector space over a field K, is regular if to each x, y ∈ V~* there corresponds a unique element R ∈ R such that R(x) = y. In this context, Schur's lemma implies that R = R ∪ {0} is a field if (and only if) it consists of pairwise commuting elements. We consider when R is locally commutative: at some ν ∈ V~*, AB(ν) = BA(ν) for all A, B ∈ R, and R has been normalized to contain the identity. We show that such locally commutative R are equivalent to commutative semifields, generalizing a result of Ganley, and hence characterizing commutative semifield spreads within the class of translation planes. This enables the determination of the orders |V| for which all locally commutative R on V are (globally) commutative. Similarly, we determine a sharp upperbound for the maximum size of the Schur kernel associated with strictly locally commutative R. We apply our main result to demonstrate the existence of a partial spread of degree 5, with nominated shears axis, that cannot be extend to a commutative semifield spread. Finally, we note that although local commutativity for a regular linear set R implies that the set of Lie products [R, R] consists entirely of singular maps, the converse is false.
机译：一组线性映射R包含在GL（V，K）中，V表示域K上的有限向量空间，如果对每个x，y∈V〜*有一个唯一元素R∈R使得R（ x）= y。在这种情况下，Schur引理意味着R = R∪{0}是（且仅当）由成对换向元素组成的字段。我们考虑何时R是局部可交换的：在某个ν∈V〜*处，对于所有A，B∈R，AB（ν）= BA（ν），并且R已被归一化以包含恒等式。我们证明了这样的局部可交换R等价于可交换半场，推广了Ganley的结果，因此表征了平移平面类中可交换半场的扩展。这样可以确定订单| V |。为此，V上的所有本地交换R都是（全局）交换的。同样，我们为与严格局部交换R关联的Schur核的最大大小确定了一个尖锐的上界。我们应用主要结果来证明存在5度部分扩展的情况，该扩展具有指定的剪切轴，不能扩展到a交换半场扩展。最后，我们注意到，尽管规则线性集R的局部可交换性意味着Lie乘积集[R，R]完全由奇异映射组成，但反之则是错误的。

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