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Karamata Renewed and Local Limit Results

机译：卡拉玛塔更新和当地极限结果

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Connections between behaviour of real analytic functions (with nonegative Maclaurin series coefficients and radius of convergence one)on the open unit interval, and to a lesser extent on arcs of the unitcircle, are explored, beginning with Karamata's approach. We developconditions under which the asymptotics of the coefficients are relatedto the values of the function near $1$; specifically, $a(n)simf(1-1)/ alpha n$ (for some positive constant $alpha$), where$f(t)=sum a(n)t^n$. In particular, if $F=sum c(n) t^n$ where $c(n)geq 0$ and $sum c(n)=1$, then $f$ defined as $(1-F)^{-1}$ (therenewal or Green's function for $F$) satisfies this condition if $F'$does (and a minor additional condition is satisfied). In come cases,we can show that the absolute sum of the differences of consecutiveMaclaurin coefficients converges. We also investigate situations inwhich less precise asymptotics are available.
机译：从Karamata的方法开始，研究了在开放单位区间上以及在较小程度上在单位圆弧上的实解析函数（具有非负Maclaurin级数和收敛半径为1）的行为之间的联系。我们建立了一个条件，在这些条件下，系数的渐近性与函数的值接近$ 1 $有关;具体来说，$ a（n）simf（1-1 / n）/ alpha n $（对于某些正常数$ alpha $），其中$ f（t）= sum a（n）t ^ n $。特别是，如果$ F = sum c（n）t ^ n $其中$ c（n）geq 0 $和$ sum c（n）= 1 $，则将$ f $定义为$（1-F）^ { -1} $（$ F $的更新或格林函数）满足$ F'$的条件（并满足次要条件）。在某些情况下，我们可以证明连续的Maclaurin系数之差的绝对和收敛。我们还研究了没有较精确的渐近性的情况。

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