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The classification of edges and the change in multiplicity of an eigenvalue of a real symmetric matrix resulting from the change in an edge value

机译：边缘的分类以及由于边缘值的变化而导致的实对称矩阵特征值的多重性变化

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We take as given a real symmetric matrix A, whose graph is a tree T, and the eigenvalues of A, with their multiplicities. Each edge of T may then be classified in one of four categories, based upon the change in multiplicity of a particular eigenvalue, when the edge is removed (i.e. the corresponding entry of A is replaced by 0).We show a necessary and suficient condition for each possible classification of an edge. A special relationship is observed among 2-Parter edges, Parter edges and singly Parter vertices. Then, we investigate the change in multiplicity of an eigenvalue based upon a change in an edge value. We show how the multiplicity of the eigenvalue changes depending upon the status of the edge and the edge value. This work explains why, in some cases, edge values have no effect on multiplicities. We also characterize, more precisely, how multiplicity changes with the removal of two adjacent vertices.
机译：我们给定一个实对称矩阵A（其图为树T）和A的特征值及其多重性。然后，当删除边缘（即A的对应条目替换为0）时，可以基于特定特征值多重性的变化，将T的每个边缘分为四类之一。我们展示了一个必要且充分的条件对于边缘的每个可能的分类。在2-Parter边缘，Parter边缘和单个Parter顶点之间观察到一种特殊的关系。然后，我们基于边缘值的变化研究特征值多重性的变化。我们展示了特征值的多重性如何根据边的状态和边值的变化而变化。这项工作解释了为什么在某些情况下，边值对多重性没有影响。我们还更精确地描述了多重性如何随着两个相邻顶点的移除而变化。

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