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【24h】

A NOTE ON THE FREIMAN AND BALOG–SZEMERéDI–GOWERS THEOREMS IN FINITE FIELDS

机译：关于有限域的FREIMAN和Balog–Szemerédi–Gowers定理的一个注记

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We prove quantitative versions of the Baloga€“Szemer??dia€“Gowers and Freiman theorems in the model case of a finite field geometry e?”?2n, improving the previously known bounds in such theorems. For instance, if is such that a?￡A+Aa?￡a‰¤Ka?￡Aa?￡ (thus A has small additive doubling), we show that there exists an affine subspace H of e?”?2n of cardinality such that . Under the assumption that A contains at least a?￡Aa?￡3/K quadruples with a1+a2+a3+a4=0, we obtain a similar result, albeit with the slightly weaker condition a?￡Ha?￡a‰?Ka?’O(K)a?￡Aa?￡.
机译：我们证明了在有限场几何e2？2n的模型情况下Baloga？Szemer ?? dia？Gowers和Freiman定理的定量版本，改善了此类定理的先前界。例如，如果a？￡ A + Aa？￡ a‰¤Ka？￡ Aa？￡（因此，A的加法倍数很小），则表明存在基数为e？”？2n的仿射子空间H这样。假设A至少包含a1 + a2 + a3 + a4 = 0的a？Aa？3 / K四联体，尽管条件a？￡ Ha？￡ a‰？稍弱，但我们获得了相似的结果。 Ka？'O（K）a？￡ Aa？￡。

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