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Improved Hoeffding’s Lemma and Hoeffding’s Tail Bounds

机译：改善了Hoeffd的引理和Hoeffding的尾界

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The purpose of this article is to improve Hoeffding’s lemma and consequently Hoeffding’s tail bounds. The improvement pertains to left skewed zero mean random variables X ∈ [a, b], where a < 0 and ?a > b. The proof of Hoeffding’s improved lemma uses Taylor’s expansion, the convexity of exp(sx), s ∈ R, and an unnoticed observation since Hoeffding’s publication in 1963 that for ?a > b the maximum of the intermediate function τ(1 ? τ) appearing in Hoeffding’s proof is attained at an endpoint rather than at τ = 0.5 as in the case b > ?a. Using Hoeffding’s improved lemma we obtain one sided and two sided tail bounds for P(S n ≥ t) and P(|S n| ≥ t), respectively, where S n = Pn i=1 Xi and the Xi ∈ [ai , bi], i = 1, ..., n are independent zero mean random variables (not necessarily identically distributed). It is interesting to note that we could also improve Hoeffding’s two sided bound for all {Xi : ?ai , bi , i = 1, ..., n}. This is so because here the one sided bound should be increased by P(?S n ≥ t), wherein the left skewed intervals become right skewed and vice versa.
机译：本文的目的是改善Hoeffding的引理，因此霍夫丁的尾翼。改善偏离偏斜零平均随机变量x∈[a，b]，其中<0和？a> b。 Hoeffding的改善的引理证明使用泰勒的扩张，Exp（SX），S∈r的凸性和自1963年的发布以来的不受注意的观察，因为它是出现的中间功能τ（1？τ）的最大值在Hoeffding的证据中，在端点而不是τ= 0.5处获得，如在案例中一样？a。使用Hoeffd的改善的引理我们可以分别获得一个侧面和双面尾部的p（sn≥t）和p（| s n |≥t），其中s n = pni i = 1 xi和xi∈[ai， Bi]，i = 1，...，n是独立的零平均随机变量（不一定相同地分布）。值得注意的是，我们还可以改善Hoeffding的双面界限所有{xi：？ai，bi，i = 1，...，n}。这是因为这里应该通过p（Δsn≥t）增加一个面绑定，其中左偏斜间隔变为右倾斜，反之亦然。

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