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【24h】

REGULARITY OF EXTREMAL SOLUTIONS OF SEMILINEAR ELLIPTIC PROBLEMS WITH NON-CONVEX NONLINEARITIES ON GENERAL DOMAINS

机译：一般域上具有非凸非线性的半线性椭圆问题极值解的规律

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We consider the semilinear elliptic equation — ∆u = λf(u) in a smooth bounded domain Ω of R~n with Dirichlet boundary condition, where f is a C~1 positive and nondeccreasing function in [0,∞) such that -too as t →∞. When ft is an arbitrary domain and f is not necessarily convex, the boundedness of the extremal solution u~* is known only for n = 2, established by X. Cabre [5]. In this paper, we prove this for higher dimensions depending on the nonlinearity f. In particular, we prove that if 1/2<β_:=liminf_(t→∞) (f′(t)F(t))/(f(t)~2)≤β_+ :=,im sup_(t→∞)(f′(t)F(t)/(f(t)~2)＜∞, where F(t) = ∫_0~t f(s)ds, then u~* € L~∞(Ω), for n < 6. Also, if β_ = β+ > 1/2 or 1/2< β_ ≤ β_+ < 7/10, then u~* € L~∞(Ω), for n ≤ 9. Moreover, under the sole condition that β_ > 1/2 we have u~* ∈ H_0~1(Ω) for n ≥ 1. The same is true if for some є > 0 we have (tf'(t) /(f(t))≥1+1/((ln t)~(2-є)) for larget t, which improves a similar result by Brezis and Vazquez [4].
机译：我们考虑具有Dirichlet边界条件的R〜n的光滑有界域in中的半线性椭圆方程— ∆u =λf（u），其中f是[0，∞）中C〜1的正和不变函数，使得-o为t→∞。当ft是任意域且f不一定是凸的时，仅由X. Cabre [5]建立的n = 2才知道极值解u〜*的有界性。在本文中，我们根据非线性f证明了更高的尺寸。特别地，我们证明如果1/2 <β_：= liminf_（t→∞）（f′（t）F（t））/（f（t）〜2）≤β_+：=，im sup_（t →∞）（f′（t）F（t）/（f（t）〜2）＜∞，其中F（t）=∫_0〜tf（s）ds，则u〜*€L〜∞（Ω ），对于n <6.此外，如果β_=β+> 1/2或1/2 <β_≤β_+ <7/10，则u〜*€L〜∞（Ω），对于n≤9。 ，在β_> 1/2的唯一条件下，对于n≥1，我们有u〜*∈H_0〜1（Ω）。对于某些є> 0，我们有（tf'（t）/（f（对于较大的t，t））≥1+ 1 /（（ln t）〜（2-є）），这改善了Brezis和Vazquez的相似结果[4]。

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