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EXISTENCE AND STABILIZATION RESULTS FOR A SINGULAR PARABOLIC EQUATION INVOLVING THE FRACTIONAL LAPLACIAN

机译：涉及分数拉普拉斯的奇异抛物方程的存在和稳定结果

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In this article, we study the following parabolic equation involving the fractional Laplacian with singular nonlinearity (P~s_t ){ ut + (−Δ)~su = u~(−q) + f(x, u), u > 0 in (0, T) × Ω, u = 0 in (0, T) × (R~n Ω), u(0, x) = u_0(ⅹ) in R~n, where Ω is a bounded domain in Rn with smooth boundary ∂Ω, n > 2s, s ∈ (0, 1), q > 0, q(2s − 1) < (2s + 1), u0 ∈ L∞(Ω) ∩ X_0(Ω) and T > 0. We suppose that the map (x, y) ∈ Ω × R+ → f(x, y) is a bounded from below Carath eodary function, locally Lipschitz with respect to the second variable and uniformly for x ∈ Ω and it satisfies lim supy→+∞f(x, y)/y<λ~s_1(Ω), (0.1) where λ_1~s(Ω) is the first eigenvalue of (−Δ)~s in Ω with homogeneous Dirichlet boundary condition in R~nΩ. We prove the existence and uniqueness of a weak solution to (P_t~s) on assuming u_0 satisfies an appropriate cone condition. We use the semi-discretization in time with implicit Euler method and study the stationary problem to prove our results. We also show additional regularity on the solution of (P_t~s ) when we regularize our initial function u_0.
机译：在本文中，我们研究了涉及分数Laplacian的以下抛物面方程（p〜s_t）{ut +（-Δ）〜su = u = u〜（-q）+ f（x，u），u> 0在（0，t）×ω中，u = 0 in（0，t）×（r〜n ω），u（0，x）= u_0（ⅹ）在r〜n中，其中ω是有界域具有光滑边界∂ω，n> 2s，s∈（0,1），q> 0，q（2s-1）<（2s + 1），u0∈l∞（ω）∩x_0（ω）和t > 0.我们假设地图（x，y）∈ω×r +→f（x，y）是从下面的Carath yodary函数的界限，局部Lipschitz相对于第二变量并均匀地均满足x∈Ω并满足LIM SUSY→+∞F（x，y）/ y <λ__1（ω），（0.1），其中λ_1〜s（ω）是（-Δ）的第一特征值（-δ）〜s，具有均匀的dirichlet边界条件r〜n ω。假设U_0满足适当的锥形条件，我们证明了弱解决方案的存在和唯一性（P_T〜S）。我们使用隐式欧拉方法使用半离散化并研究静止问题以证明我们的结果。当我们将初始函数U_0进行规范时，我们还会在（P_T〜S）的解决方案上显示额外的规律性。

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