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ON THE GEOMETRY OF THE ρ-LAPLACIAN OPERATOR

机译：关于ρ-Laplacian算子的几何

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The p-Laplacian operator ∆_pu = div (|∇u|~(p-2)∇u) is not uniformly elliptic for any p ∈ (1,2) ∪ (2, ∞) and degenerates even more when p → ∞ or p → 1. In those two cases the Dirichlet and eigenvalue problems associated with the p-Laplacian lead to intriguing geometric questions, because their limits for p →∞ or p → 1 can be characterized by the geometry of Ω. In this little survey we recall some well-known results on eigenfunctions of the classical 2-Laplacian and elaborate on their extensions to general p ∈ [1, ∞]. We report also on results concerning the normalized or game-theoretic p-Laplacian ∆_p~Nu := 1/p|∇u|~(2-p)∆_pu = 1/p∆_1~Nu + (p-1)/p∆_∞~Nu and its parabolic counterpart u_t - ∆_p~Nu = 0. These equations are homogeneous of degree 1 and ∆_p~N is uniformly elliptic for any p ∈ (1, ∞). In this respect it is more benign than the p-Laplacian, but it is not of divergence type.
机译：p-Laplacian算子∆_pu = div（|∇u|〜（p-2）∇u）对于任何p∈（1,2）∪（2，∞）都不是统一的椭圆形，并且当p→∞时退化更多或p→1。在这两种情况下，与p-Laplacian相关的Dirichlet和本征值问题引起了有趣的几何问题，因为它们对p→∞或p→1的限制可以用Ω的几何特征来表征。在本次小调查中，我们回顾了有关经典2-Laplacian特征函数的一些著名结果，并详细阐述了它们对一般p∈[1，∞]的扩展。我们还将报告有关归一化或博弈论的p-Laplacian ∆_p〜Nu：= 1 / p |∇u|〜（2-p）∆_pu = 1 / p∆_1〜Nu +（p-1）的结果/ p∆_∞〜Nu及其抛物线对应的u_t-∆_p〜Nu =0。这些等式的阶为齐次，对于任何p∈（1，∞），∆_p〜N都是椭圆形。在这方面，它比p-Laplacian更为良性，但不是发散型的。

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