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Fuzzy transforms of higher order approximate derivatives:A theorem

机译：高阶近似导数的模糊变换：一个定理

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In many practical applications, it is useful to represent a function f(x) by its fuzzy transform, i.e., by the "average" values over different elements of a fuzzy partition A_1(x),___A_n(x) (for which A_i(x) > 0 and Σ_i~n=A_i(x)=1). It is known that when we increase the number n of the partition elements A,(x), the resulting approximation gets closer and closer to the original function: for each value x_0, the values F_i corresponding to the function A_i(x) for which A_i(x_0)= 1 tend to f(x_0). In some applications, if we approximate the function/(x) on each element A_i (x) not by a constant but by a polynomial (i.e., use a fuzzy transform of a higher order), we get an even better approximation to f(x). In this paper, we show that such fuzzy transforms of higher order (and even sometimes the original fuzzy transforms) not only approximate the function fix) itself, they also approximate its derivative(s). For example, we have F_i~1{x_0)→ f~1(x_0).
机译：在许多实际应用中，有用的是通过函数f（x）的模糊变换来表示函数f（x），即通过模糊分区A_1（x），___ A_n（x）的不同元素上的“平均值”值表示（对于函数A_i（ x）> 0且Σ_i〜n = A_i（x）= 1）。众所周知，当我们增加分区元素A，（x）的数量n时，所得近似值越来越接近原始函数：对于每个值x_0，对应于函数A_i（x）的值F_i A_i（x_0）= 1趋于f（x_0）。在某些应用中，如果我们不通过常数而是通过多项式来逼近每个元素A_i（x）上的函数/（x）（即，使用更高阶的模糊变换），则可以得到更好的f（ X）。在本文中，我们证明了这种高阶模糊变换（甚至有时是原始的模糊变换）不仅近似于函数定位本身，而且还近似于其导数。例如，我们有F_i〜1 {x_0）→f〜1（x_0）。

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