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Convolutional Phase Retrieval via Gradient Descent

机译：通过梯度下降的卷积相位检索

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We study the convolutional phase retrieval problem, of recovering an unknown signal $x in mathbb C{n} $ from $m$ measurements consisting of the magnitude of its cyclic convolution with a given kernel $a in mathbb C{m} $ . This model is motivated by applications such as channel estimation, optics, and underwater acoustic communication, where the signal of interest is acted on by a given channel/filter, and phase information is difficult or impossible to acquire. We show that when $a$ is random and the number of observations $m$ is sufficiently large, with high probability $x$ can be efficiently recovered up to a global phase shift using a combination of spectral initialization and generalized gradient descent. The main challenge is coping with dependencies in the measurement operator. We overcome this challenge by using ideas from decoupling theory, suprema of chaos processes and the restricted isometry property of random circulant matrices, and recent analysis of alternating minimization methods.
机译：我们研究卷积相位检索问题，即从$ m $测量中恢复未知信号$ x in mathbb C {n} $，其中包括给定内核$ a in mathbb C {m的循环卷积的大小} $。该模型是由诸如信道估计，光学和水下声通信之类的应用推动的，其中感兴趣的信号由给定的信道/滤波器作用，并且相位信息难以或无法获取。我们表明，当$ a $是随机的并且观测值$ m $足够大时，可以结合使用频谱初始化和广义梯度下降的组合，高效地恢复$ x $直到全局相移。主要的挑战是应对测量运算符中的依赖性。我们通过使用解耦理论，混沌过程的超常性和随机循环矩阵的受限等距特性以及最近对交替最小化方法的分析，来克服这一挑战。

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