$(n,m)$ On Design-Theoretic Aspects of Boolean and Vectorial Bent Function
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On Design-Theoretic Aspects of Boolean and Vectorial Bent Function

机译：关于布尔和矢量弯曲功能的设计 - 理论方面

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There are two construction methods of designs from $(n,m)$ -bent functions, known as translation and addition designs. In this article we analyze, which equivalence relation for Boolean bent functions, i.e. $(n,1)$ -bent functions, and vectorial bent functions, i.e. $(n,m)$ -bent functions with $2le mle n/2$ , is coarser: extended-affine equivalence or isomorphism of associated translation and addition designs. First, we observe that similar to the Boolean bent functions, extended-affine equivalence of vectorial $(n,m)$ -bent functions and isomorphism of addition designs are the same concepts for all even $n$ and $mle n/2$ . Further, we show that extended-affine inequivalent Boolean bent functions in $n$ variables, whose translation designs are isomorphic, exist for all $nge 6$ . This implies, that isomorphism of translation designs for Boolean bent functions is a coarser equivalence relation than extended-affine equivalence. However, we do not observe the same phenomenon for vectorial bent functions in a small number of variables. We classify and enumerate all vectorial bent functions in six variables and show, that in contrast to the Boolean case, one cannot exhibit isomorphic translation designs from extended-affine inequivalent vectorial $(6,m)$ -bent functions with $min { 2,3 }$ .
机译：来自<内联公式XMLNS：MML =“http://www.w3.org/1998/math/mathml”xmlns：xlink =“http://www.w3.org/1999/998 xlink“> $（n，m）$ -bent函数，称为转换和添加设计。在本文中，我们分析了布尔弯曲函数的等价关系，即<内联公式XMLNS：MML =“http://www.w3.org/1998/math/mathml”xmlns：xlink =“http：// www .w3.org / 1999 / xlink“> $（n，1）$ -bent函数，以及矢量弯曲函数，即<内联XMLNS：MML =“http://www.w3.org/1998/math/mathml”xmlns：xlink =“http://www.w3.org/1999/xlink”> $（n，m）$ - 与<内联公式xmlns的函数：mml =“http://www.w3.org/1998/math/ mathml“xmlns：xlink =”http://www.w3.org/1999/xlink“> $ 2 Le M Le N / 2 $ ，是较粗糙的：相关的翻译和添加设计的延伸仿射等价或同构。首先，我们观察类似于布尔弯曲的函数，矢量 $（n，m）$ 添加设计的函数和同义对所有偶数<内联公式xmlns：mml =“http://www.w3.org/1998/math/mathml”xmlns：xlink =“http://www.w3.org/1999/xlink是相同的概念“> $ n $ 和 $ m le n / 2 $ 。此外，我们显示在<内联公式XMLNS：MML =“http://www.w3.org/1998/math/mathmar”xmlns：xlink =“http：//www.w3中.org / 1999 / xlink“> $ n $ 变量，其翻译设计是同义的，存在于所有<内联公式XMLNS中存在： mml =“http://www.w3.org/1998/math/mathml”xmlns：xlink =“http://www.w3.org/1999/xlink”> $ n ge 6 $ 。这意味着，布尔弯曲函数的翻译设计同构是比扩展仿现等价相同的粗糙等价关系。然而，我们在少量变量中不观察到与矢量弯曲功能相同的现象。我们在六个变量和显示中阐述所有矢量弯曲功能，与布尔案例相比，一个不能从扩展仿射不当矢量<内联公式XMLNS：mml =“http：//www.w3 .org / 1998 / math / mathml“xmlns：xlink =”http://www.w3.org/1999/xlink“> $（6，m）$ - 与<内联公式XMLNS的函数：MML =“http://www.w3.org/1998/math/mathml”xmlns：xlink =“http：//www.w3。 ORG / 1999 / XLINK“> $ M IN {2,3 } $ 。

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