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Locally Recoverable Codes on Algebraic Curves

机译：代数曲线上的局部可恢复代码

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A code over a finite alphabet is called locally recoverable (LRC code) if every symbol in the encoding is a function of a small number (at most r ) of other symbols of the codeword. In this paper, we introduce a construction of LRC codes on algebraic curves, extending a recent construction of the Reed–Solomon like codes with locality. We treat the following situations: local recovery of a single erasure, local recovery of multiple erasures, and codes with several disjoint recovery sets for every coordinate (the availability problem). For each of these three problems we describe a general construction of codes on curves and construct several families of LRC codes. We also describe a construction of codes with availability that relies on automorphism groups of curves. We also consider the asymptotic problem for the parameters of the LRC codes on curves. We show that the codes obtained from asymptotically maximal curves (for instance, Garcia-Stichtenoth towers) improve upon the asymptotic versions of the Gilbert-Varshamov bound for LRC codes.
机译：如果编码中的每个符号都是代码字中其他符号的数量很少（最多r个）的函数，那么有限字母上的代码就称为本地可恢复代码（LRC代码）。在本文中，我们介绍了代数曲线上LRC代码的构造，并扩展了Reed-Solomon式代码的局部构造。我们处理以下情况：单个擦除的本地恢复，多个擦除的本地恢复，以及每个坐标具有不相交的恢复集的代码（可用性问题）。对于这三个问题中的每一个，我们描述了曲线上代码的一般构造，并构造了几类LRC代码。我们还描述了依赖于曲线的自同构组的具有可用性的代码构造。我们还考虑了曲线上LRC码参数的渐近问题。我们表明，从渐近最大曲线（例如，加西亚-斯蒂滕斯铁塔）获得的代码在LRC代码的Gilbert-Varshamov渐近版本上得到了改进。

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