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Explicit List-Decodable Rank-Metric and Subspace Codes via Subspace Designs

机译：通过子空间设计的明示可分解的秩度量和子空间代码

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We construct an explicit family of -linear rank-metric codes over any field that enables efficient list-decoding up to a fraction of errors in the rank metric with a rate of , for any desired and . This is the first explicit construction of positive rate rank-metric codes for efficient list-decoding beyond the unique decoding radius. Our codes are explicit subcodes of the well-known Gabidulin codes, which encode linearized polynomials of low degree via their values at a collection of linearly independent points. The subcode is picked by restricting the message polynomials to an -subspace that evades the structured subspaces over an extension field that arise in our linear-algebraic list decoder for Gabidulin codes. This subspace is obtained by combining subspace designs constructed by Guruswami and Kopparty (FOCS’13) with subspace-evasive varieties due to Dvir and Lovett (STOC’12). We establish a similar result for subspace codes, which have received much attention recently in the context of network coding. We also give explicit subcodes of folded Reed–Solomon (RS) codes with small folding order, which are list-decodable (in the Hamming metric) with optimal redundancy, motivated by the fact that list-decoding RS codes reduc- s to list-decoding such folded RS codes. However, as we only list-decode a subcode of these codes, the Johnson radius continues to be the best known error fraction for list-decoding RS codes.
机译：我们在任何字段上构造了一个显式的线性秩度量代码系列，该序列可对任何期望的和进行有效的列表解码，秩比率中的错误率最高为。这是用于唯一列表半径之外的有效列表解码的正速率秩度量代码的第一个显式构造。我们的代码是著名的Gabidulin代码的显式子代码，该代码通过在线性独立点的集合中通过其值编码低阶线性多项式。通过将消息多项式限制为-子空间来选择子代码，该子空间可避开在Gabidulin码的线性代数列表解码器中出现的扩展字段上的结构化子空间。该子空间是通过将Guruswami和Kopparty（FOCS’13）构建的子空间设计与Dvir和Lovett（STOC’12）提出的避免子空间变种相结合而获得的。我们为子空间代码建立了类似的结果，最近在网络编码的背景下，子空间代码引起了很多关注。我们还给出了折叠顺序小的Reed-Solomon（RS）码的显式子码，这些子码可列表解码（在汉明度量标准中），并且具有最佳的冗余度，其原因是列表解码RS码可简化为list-解码折叠的RS码。但是，由于我们仅对这些代码的子代码进行列表解码，因此约翰逊半径仍然是列表解码RS代码最著名的错误分数。

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