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Pseudocodewords of Parity-Check Codes Over Fields of Prime Cardinality

机译：素数基字段上的奇偶校验码的伪码字

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This paper considers pseudocodewords of low-density parity-check codes over alphabets with prime cardinality (p) for use over the (p) -ary symmetric channel. Pseudocodewords are decoding algorithm outputs that may not be legitimate codewords. Here, we consider pseudocodewords arising from graph cover decoding and linear programming decoding. For codes over the binary alphabet, such pseudocodewords correspond to rational points of the fundamental polytope. They can be characterized via the fundamental cone, which is the conic hull of the fundamental polytope; the pseudocodewords are precisely those integer vectors within the fundamental cone that reduce modulo 2 to a codeword. In this paper, we determine a set of conditions that pseudocodewords of codes over ( mathbb F_{p}) , the finite field of prime cardinality (p) , must satisfy. To do so, we introduce a class of critical multisets and a mapping, which associates a real number to each pseudocodeword over ( mathbb F_{p}) . The real numbers associated with pseudocodewords are subject to lower bounds imposed by the critical multisets. The inequalities are given in terms of the parity-check matrix entries and critical multisets. This gives a necessary and sufficient condition for pseudocodewords of codes over ( mathbb F_{2}) and ( mathbb F_{3}) and a necessary condition for those over larger alphabets. In addition, irreducible pseudocodewords of codes over ( mathbb F_{3})- are found as a Hilbert basis for the lifted fundamental cone.
机译：本文考虑具有素数基数 （p） 的字母上的低密度奇偶校验码的伪代码字 （p） 对称通道。伪码字是可能不是合法码字的解码算法输出。在这里，我们考虑由图形覆盖解码和线性编程解码产生的伪码字。对于二进制字母上的代码，此类伪代码字对应于基本多面体的有理点。它们可以通过基本圆锥体来表征，基本圆锥体是基本多面体的圆锥形外壳。伪代码字恰好是基本圆锥内的那些将模2模降低为代码字的整数矢量。在本文中，我们确定了一组条件，这些条件导致 （mathbb F_ {p}） 上的代码的伪码字，素数基数 （p） 的有限域必须满足。为此，我们引入了一类关键的多重集和一个映射，该映射将实数与 （mathbb F_ {p}） 。与伪代码字关联的实数受关键多重集的下限约束。不等式是根据奇偶校验矩阵项和关键多重集给出的。这为 （mathbb F_ {2}） 和 （mathbb F_ {3}） 以及较大字母的必要条件。此外，发现 （mathbb F_ {3}）- 上的代码的不可约伪码字是Hilbert基础，用于提起的基本圆锥。

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