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【24h】

Inclusion of Solutions of Initial Value Problems for Hyperbolic Equations

机译：包含双曲型方程初值问题的解

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We consider a noncharacteristic initial value problem for a quasilinear hyperbolic differential equation a(x,y, u)u_(xx) + b(x, y, u)u_(xy) + c(x, y, u)u_(yy) = f(x,y, u, u_x,u_y). It is well known that the problem can be transformed to a so-called normal form by introducing characteristic coordinates s and t, whose dependence on x and y is a priori unknown in the case of a nonlinear left-hand side. The normal form consists of two characteristic equations and the differential equation in characteristic coordinates. From this normal form an initial value problem for a system of second-order partial differential equations with only mixed second-order derivatives (partial deriv~2)/(partial deriv s partial deriv t) is obtained. The paper presents a method implemented on a computer which applies the Banach fixed point theorem to this initial value problem and thus calculates pointwise enclosures both of the characteristic curves, which describe the domain of determinacy M (depending implicitly on u if the differential equation is nonlinear), and of the corresponding solution u(x,y), (x,y) ∈ M of the original problem.
机译：我们考虑了拟线性双曲型微分方程a（x，y，u）u_（xx）+ b（x，y，u）u_（xy）+ c（x，y，u）u_（yy）的非特征初值问题）= f（x，y，u，u_x，u_y）。众所周知，可以通过引入特征坐标s和t将问题转化为所谓的范式，在非线性左侧，特征坐标s和t对x和y的依赖性是先验未知的。范式由两个特征方程和特征坐标中的微分方程组成。从该范式中，获得仅具有混合二阶导数（偏导数〜2）/（偏导数-偏导数t）的二阶偏微分方程组的初值问题。本文提出了一种在计算机上实现的方法，该方法将Banach不动点定理应用于该初始值问题，从而计算了两个特征曲线的逐点包络，它们描述了确定性M的域（如果微分方程是非线性的，则隐含依赖于u） ）和原始问题的对应解u（x，y），（x，y）∈M.

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