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On the Complexity of Multivariate Integral Equations in Sobolev Spaces

机译：Sobolev空间中多元积分方程的复杂性

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Information based complexity theory (IBC) studies the essential difficulty of a numerical problem. That means it searches the answer of the question, what is the minimal cardinality of information about the input data and the minimal number of arithmetical operations required to solve the numerical problem with an error less than ε. In this paper, we consider the problem of numerical solution of Fredholm integral equations of the second kind with kernels and free terms belonging to Sobolev spaces with dominating mixed derivatives. Integral equations in Sobolev classes with dominating mixed derivative were treated by Pereverzev in [6]. He derived lower and upper estimates of the information complexity in the onedimensional case. In the present paper, we will extend these results to the multivariate case with arbitrary dimension d. The upper bound is shown by constructing an optimal algorithm based on a hyperbolic cross approximation of the kernel function.
机译：基于信息的复杂性理论（IBC）研究了数值问题的基本难度。这意味着它将搜索问题的答案，即有关输入数据的信息的最小基数是多少，而要解决误差小于ε的数值问题所需的最小算术运算次数是多少。在本文中，我们考虑了第二类Fredholm积分方程的数值解问题，该方程具有核和自由项，它们属于Sobolev空间，具有主导混合导数。 Pereverzev在[6]中处理了Sobolev类中具有主导混合导数的积分方程。他得出了一维情况下信息复杂度的上下估计。在本文中，我们将这些结果扩展到具有任意维d的多元情况。通过基于核函数的双曲交叉逼近构造最佳算法来显示上限。

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