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【24h】

Positive-Definite Functions, Exponential Sums and the Greedy Algorithm: a Curious Phenomenon

机译：积极确定的函数，指数和贪婪算法：奇怪的现象

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摘要

We describe a curious dynamical system that results in sequences of real numbers in [0, 1] with seemingly remarkable properties. Let the even function f : T - R satisfy (f) over cap (k) = c vertical bar k vertical bar(-2) and define a sequence viax(n) = arg min (x) Sigma(n-1)(k=1)f(x - x(k)).Such sequences (X-n)(n=)(infinity)(1) seem to be astonishingly regularly distributed in various ways (satisfying favorable exponential sum estimates; every interval J subset of [0, 1] contains similar to vertical bar J vertical bar n elements). We proveW-2 (mu, nu) = c/root n, where mu = 1 Sigma(n)(k=1) delta(xk)is the empirical distribution, nu = dx is the Lebesgue measure and W-2(mu, nu) is the 2-Wasserstein distance between these two. Much stronger results seem to be true and it is an interesting problem to understand this dynamical system better. We obtain optimal results in dimension d = 3: using G(x, y) to denote the Green's function of the Laplacian on a compact manifold, we show thatx(n) = arg min(x is an element of M )Sigma(n-1)(k=1) G(x, x(k)) satisfies W-2 (1 Sigma(n)(k=1) delta(xk), dx) less than or similar to 1(1/d). (C) 2020 Elsevier Inc. All rights reserved.
机译：我们描述了一种奇妙的动态系统，导致[0,1]中的实数序列，具有看似显着的性质。让偶数函数f：t - > r满足（f）上帽（k）> = c垂直栏k垂直条（-2）并定义序列VIVX（n）= arg min（x）sigma（n-1 ）（k = 1）f（x - x（k））。这种序列（xn）（n =）（无穷大）（1）似乎以各种方式令人惊讶地分布（满足有利的指数和估计;每个间隔j [0,1]的子集包含类似于垂直条J垂直条元件）。我们provew-2（mu，nu）<= c / root n，其中mu = 1 / n sigma（n）（n）（k = 1）delta（xk）是经验分布，nu = dx是LEBESGUE测量和W- 2（mu，nu）是这两个之间的2-wasserstein距离。结果似乎是真实的，这是一个更好的动态系统是一个有趣的问题。我们获得尺寸D> = 3的最佳结果：使用g（x，y）表示Laplacian在紧凑的歧管上的绿色功能，我们显示了x（n）= arg min（x是m的元素）sigma（ n-1）（k = 1）g（x，x（k））满足小于或类似于1 / n的W-2（1 / nσ（n）（k = 1）Δ（xk），dx） （1 / d）。 （c）2020 Elsevier Inc.保留所有权利。

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