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Algorithmic solution of higher type equations

机译：高阶方程的算法解

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摘要

In recent work, we developed the notion of exhaustible set as a higher type computational counter part of the topological notion of compact set. In this article, we give applications to the computation of solutions of higher type equations. Given a continuous functional f: X → Y and y∈ Y, we wish to compute x∈X such that f(x) = y, if such an x exists. We show that if x is unique and X and Y are subspaces of Kleene-Kreisel spaces of continuous functionals with X exhaustible, then x is computable uniformly in f, y and the exhaustibility condition. We also establish a version of this for computational metric spaces X and Y, where is X computationally complete and has an exhaustible set of Kleene-Kreisel representatives. Examples of interest include evaluation functionals defined on compact spaces X of bounded sequences of Taylor coefficients with values on spaces Y of real analytic functions defined on a compact set. A corollary is that it is semi-decidable whether a function defined on such a compact set fails to be analytic, and that the Taylor coefficients of an analytic function can be computed extensionally from the function.
机译：在最近的工作中，我们开发了可耗尽集的概念，将其作为紧凑集拓扑概念的高级计算反面部分。在本文中，我们将应用程序应用于更高类型方程的解。给定一个连续的函数f：X→Y和y∈Y，我们希望计算x∈X使得f（x）= y（如果存在x）。我们证明，如果x是唯一的，并且X和Y是X具有可穷举性的连续函数的Kleene-Kreisel空间的子空间，则x可在f，y和可穷性条件下统一计算。我们还为计算度量空间X和Y建立了一个此版本，其中X在计算上是完整的，并且具有Kleene-Kreisel表示的详尽集合。感兴趣的示例包括在泰勒系数的有界序列的紧空间X上定义的评估函数，在紧集上定义的实际解析函数的空间Y上的值。一个必然的结论是，在这种紧缩集上定义的函数是否无法解析是半确定的，并且可以从该函数扩展地计算出解析函数的泰勒系数。

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