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首页> 外文期刊>Journal of the Mathematical Society of Japan >Random Dirichlet series arising from records
【24h】

Random Dirichlet series arising from records

机译：记录产生的随机Dirichlet级数

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摘要

We study the distributions of the random Dirichlet series with parameters (s,β) defined by S=∞∑n=1 I_n~s, where (I_n) is a sequence of independent Bernoulli random variables, I_n taking value 1 with probability 1~β and value 0 otherwise. Random series of this type are motivated by the record indicator sequences which have been studied in extreme value theory in statistics. We show that when s ＞ 0 and 0 ＜ β ≤ 1 with s + β ＞ 1 the distribution of S has a density; otherwise it is purely atomic or not defined because of divergence. In particular, in the case when s ＞ 0 and β = 1, we prove that for every 0 ＜ s ＜ 1 the density is bounded and continuous, whereas for every s ＞ 1 it is unbounded. In the case when s ＞ 0 and 0 ＜ β ＜ 1 with s + β ＞ 1, the density is smooth. To show the absolute continuity, we obtain estimates of the Fourier transforms, employing van der Corput's method to deal with number-theoretic problems. We also give further regularity results of the densities, and present an example of a non-atomic singular distribution which is induced by the series restricted to the primes.
机译：我们研究参数（s，β）由S = ∞∑n = 1 I_n / n〜s定义的随机Dirichlet级数的分布，其中（I_n）是独立伯努利随机变量的序列，I_n取值1的概率为1 / n〜β，否则为0。这种类型的随机序列受记录指示符序列的激励，这些记录指示符序列已在统计学中的极值理论中进行了研究。我们证明当s＞ 0且0 ＜β≤1且s +β＞ 1时，S的分布具有密度。否则，它是纯原子的或由于发散而未定义。特别是在s＞ 0且β= 1的情况下，我们证明每0 ＜s ＜1密度是有界且连续的，而每s＞ 1密度是无界的。当s＞ 0且0 ＜β＜1且s +β＞ 1时，密度是平滑的。为了显示绝对连续性，我们使用van der Corput的方法处理数论问题，获得傅里叶变换的估计。我们还给出了密度的更多规律性结果，并给出了一个非原子奇异分布的例子，该非原子奇异分布是由限于质数的级数引起的。

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