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On the dichotomy of Perron numbers and beta-conjugates

机译：关于Perron数和β-共轭物的二分法

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Let β > 1 be an algebraic number. A general definition of a beta-conjugate of β is proposed with respect to the analytical function fb(z) = -1 + åi ³ 1 ti zi{f_{beta}(z) =-1 + sum_{i geq 1} t_i z^i} associated with the Rényi β-expansion d β (1) = 0.t 1 t 2 . . . of unity. From Szegő’s Theorem, we study the dichotomy problem for f β (z), in particular for β a Perron number: whether it is a rational fraction or admits the unit circle as natural boundary. The first case of dichotomy meets Boyd’s works. We introduce the study of the geometry of the beta-conjugates with respect to that of the Galois conjugates by means of the Erdős–Turán approach and take examples of Pisot, Salem and Perron numbers which are Parry numbers to illustrate it. We discuss the possible existence of an infinite number of beta-conjugates and conjecture that all real algebraic numbers > 1, in particular Perron numbers, are in C1 È C2 È C3{{rm C}_1 cup ,{rm C}_2 cup ,{rm C}_3} after the classification of Blanchard/Bertrand-Mathis.
机译：令β> 1是代数数。关于解析函数f b （z）= -1 +å i³1 t i，提出了β-共轭β的一般定义。 z i {f_ {beta}（z）= -1 + sum_ {i geq 1} t_i z ^ i}与Rényiβ扩展d β（1）= 0.t 1 t 2 。 。 。团结。根据Szegő定理，我们研究了f β（z）的二分法问题，特别是对于βa Perron数：是有理分数还是以单位圆为自然边界。第一个二分法与博伊德的作品相吻合。我们通过Erdős–Turán方法介绍了相对于Galois共轭物的β-共轭物的几何形状的研究，并以Pisot，Salem和Perron数的例子为例进行了说明。我们讨论了无限数量的β-共轭数的可能存在和猜想，即所有大于1的实数，尤其是Perron数，都在C 1 ÈC 2 È中C 3 {{rm C} _1杯，{rm C} _2杯，{rm C} _3}，分类为Blanchard / Bertrand-Mathis。

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