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Projections in a Synaptic Algebra

机译：突触代数中的投影

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A synaptic algebra is an abstract version of the partially ordered Jordan algebra of all bounded Hermitian operators on a Hilbert space. We review the basic features of a synaptic algebra and then focus on the interaction between a synaptic algebra and its orthomodular lattice of projections. Each element in a synaptic algebra determines and is determined by a one-parameter family of projections-its spectral resolution. We observe that a synaptic algebra is commutative if and only if its projection lattice is boolean, and we prove that any commutative synaptic algebra is isomorphic to a subalgebra of the Banach algebra of all continuous functions on the Stone space of its boolean algebra of projections. We study the so-called range-closed elements of a synaptic algebra, prove that (von Neumann) regular elements are range-closed, relate certain range-closed elements to modular pairs of projections, show that the projections in a synaptic algebra form an M-symmetric orthomodular lattice, and give several sufficient conditions for modularity of the projection lattice.
机译：突触代数是希尔伯特空间上所有有界Hermitian算子的部分有序Jordan代数的抽象版本。我们回顾了突触代数的基本特征，然后重点介绍了突触代数与其投影的正模格子之间的相互作用。突触代数中的每个元素确定并由一参数投影族确定，即其光谱分辨率。我们观察到，当且仅当其投影格是布尔值时，突触代数才是可交换的，并且证明了在其布尔投影的代数的Stone空间上，任何可交换的突触代数与Banach代数的所有连续函数的子代数是同构的。我们研究了突触代数的所谓距离封闭元素，证明了（冯·诺伊曼）正则元素是距离封闭的，将某些距离封闭元素与投影的成对投影联系起来，证明了突触代数中的投影形成了一个M对称的正模块化晶格，并为投影晶格的模块化提供了几个充分的条件。

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